Pernyataan 'Untuk setiap x e P jika dan hanya jika x e Q''

Agar pernyataan biimplikasi 'Untuk setiap x ∈ P jika dan hanya jika x ∈ Q' bernilai Benar (B), maka himpunan P harus sama dengan himpunan Q (P = Q).

Pembahasan

Pernyataan 'Untuk setiap x ∈ P jika dan hanya jika x ∈ Q' berarti bahwa himpunan P dan himpunan Q adalah sama. Agar kalimat biimplikasi (p ⇔ q) bernilai Benar (B), kedua pernyataan (p ⇒ q dan q ⇒ p) harus memiliki nilai kebenaran yang sama, yaitu keduanya Benar (B) atau keduanya Salah (S).

Mari kita isi tabel kebenaran:

p | q | p ⇒ q | q ⇒ p | p ⇔ q
--|---|-------|-------|------
B | B | B     | B     | B
B | S | S     | B     | S
S | B | B     | S     | S
S | S | B     | B     | B

Agar kalimat 'Untuk setiap x ∈ P jika dan hanya jika x ∈ Q' bernilai Benar (B), maka haruslah p ⇒ q bernilai B dan q ⇒ p bernilai B. Berdasarkan tabel kebenaran, hal ini terjadi ketika p dan q keduanya bernilai B, atau ketika p dan q keduanya bernilai S.

Dalam konteks himpunan, 'p ⇒ q' berarti 'Jika x ∈ P, maka x ∈ Q', yang berarti P adalah subset dari Q (P ⊆ Q). Sedangkan 'q ⇒ p' berarti 'Jika x ∈ Q, maka x ∈ P', yang berarti Q adalah subset dari P (Q ⊆ P).

Agar kedua pernyataan tersebut bernilai Benar (B) secara bersamaan, maka P harus merupakan subset dari Q DAN Q harus merupakan subset dari P. Satu-satunya cara agar kedua kondisi ini terpenuhi adalah jika himpunan P sama dengan himpunan Q (P = Q).