Persamaan 4log(2x^2-4x+16)=2log(x+2) mempunyai penyelesaian

Nilai p-q adalah 4.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah 4log(2x^2 - 4x + 16) = 2log(x + 2).

Kita bisa menyederhanakan persamaan ini menggunakan sifat logaritma. Ingat bahwa a log b = log b^a.
Jadi, 4log(2x^2 - 4x + 16) dapat ditulis sebagai log((2x^2 - 4x + 16)^4).
Dan 2log(x + 2) dapat ditulis sebagai log((x + 2)^2).

Namun, ada kesalahan dalam asumsi ini. Seharusnya, persamaan tersebut adalah:
4 * log(2x^2 - 4x + 16) = 2 * log(x + 2)

Kita bisa membagi kedua sisi dengan 2:
2 * log(2x^2 - 4x + 16) = log(x + 2)

Menggunakan sifat a log b = log b^a:
log((2x^2 - 4x + 16)^2) = log(x + 2)

Karena basis logaritma sama, maka argumennya harus sama:
(2x^2 - 4x + 16)^2 = x + 2

Ini adalah persamaan yang sangat kompleks dan kemungkinan besar ada kesalahan penulisan pada soal aslinya. Soal yang lebih umum ditemui adalah:
log_4(2x^2 - 4x + 16) = log_2(x + 2).

Mari kita coba selesaikan dengan asumsi soal tersebut adalah:
log_4(2x^2 - 4x + 16) = log_2(x + 2)

Kita ubah basis logaritma agar sama. Gunakan log_4 a = log_2 a / log_2 4 = log_2 a / 2.
(log_2(2x^2 - 4x + 16)) / 2 = log_2(x + 2)

log_2(2x^2 - 4x + 16) = 2 * log_2(x + 2)

log_2(2x^2 - 4x + 16) = log_2((x + 2)^2)

Samakan argumennya:
2x^2 - 4x + 16 = (x + 2)^2
2x^2 - 4x + 16 = x^2 + 4x + 4

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
2x^2 - x^2 - 4x - 4x + 16 - 4 = 0
x^2 - 8x + 12 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat:
(x - 2)(x - 6) = 0

Solusinya adalah x = 2 atau x = 6.

Kita perlu memeriksa apakah solusi ini valid dengan memeriksa domain logaritma. Argumen logaritma harus positif.
Untuk log_2(x + 2), maka x + 2 > 0, sehingga x > -2.
Untuk log_4(2x^2 - 4x + 16), maka 2x^2 - 4x + 16 > 0. Diskriminan dari 2x^2 - 4x + 16 adalah (-4)^2 - 4(2)(16) = 16 - 128 = -112. Karena koefisien x^2 positif (2) dan diskriminan negatif, maka 2x^2 - 4x + 16 selalu positif untuk semua x.

Kedua solusi (x=2 dan x=6) memenuhi syarat x > -2.

Diketahui penyelesaiannya adalah p dan q, dengan p > q. Maka, p = 6 dan q = 2.

Nilai p - q = 6 - 2 = 4.