Persamaan akar(3) cos x-sin x=2-p dapat dicari

$0 \le p \le 4$

Pembahasan

Untuk mencari penyelesaian dari persamaan $\sqrt{3}\cos x - \sin x = 2 - p$, kita dapat menggunakan identitas $R\cos(x + \alpha) = R(\cos x \cos \alpha - \sin x \sin \alpha)$.
Dengan membandingkan $\sqrt{3}\cos x - \sin x$ dengan $R\cos x \cos \alpha - R\sin x \sin \alpha$, kita peroleh:
$R\cos \alpha = \sqrt{3}$
$R\sin \alpha = 1$

Mengkuadratkan dan menjumlahkan kedua persamaan tersebut, kita dapatkan $R^2\cos^2 \alpha + R^2\sin^2 \alpha = (\sqrt{3})^2 + 1^2$, sehingga $R^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 3 + 1 = 4$. Karena $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, maka $R^2 = 4$, sehingga $R = 2$ (karena $R$ menyatakan amplitudo, nilainya positif).

Selanjutnya, kita dapat membagi persamaan kedua dengan persamaan pertama untuk mendapatkan $\tan \alpha = \frac{R\sin \alpha}{R\cos \alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Nilai $\alpha$ yang memenuhi adalah $\alpha = 30^\circ$ atau $\frac{\pi}{6}$ radian.

Sehingga, persamaan $\sqrt{3}\cos x - \sin x = 2 - p$ dapat ditulis sebagai $2\cos(x + 30^\circ) = 2 - p$, atau $\cos(x + 30^\circ) = \frac{2 - p}{2}$.

Agar persamaan ini memiliki penyelesaian, nilai dari $\cos(x + 30^\circ)$ harus berada di antara -1 dan 1, yaitu $-1 \le \cos(x + 30^\circ) \le 1$.
Dengan demikian, $-1 \le \frac{2 - p}{2} \le 1$.

Mengalikan ketiga bagian dengan 2, kita peroleh $-2 \le 2 - p \le 2$.

Untuk bagian kiri: $-2 \le 2 - p$, maka $p \le 2 + 2$, sehingga $p \le 4$.
Untuk bagian kanan: $2 - p \le 2$, maka $-p \le 0$, sehingga $p \ge 0$.

Jadi, agar persamaan tersebut memiliki penyelesaian, nilai $p$ harus memenuhi $0 \le p \le 4$.