Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2-2x+4y-40=0 yang

2x + y - 15 = 0 atau 2x + y + 15 = 0

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah x² + y² - 2x + 4y - 40 = 0.
Kita perlu mencari persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar dengan garis y + 2x - 6 = 0.

Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran.
Persamaan umum lingkaran: x² + y² + Ax + By + C = 0
Pusat: (-A/2, -B/2)
Jari-jari: r = √( (A/2)² + (B/2)² - C )

Dari persamaan x² + y² - 2x + 4y - 40 = 0:
A = -2, B = 4, C = -40

Pusat lingkaran (P): (-(-2)/2, -(4)/2) = (1, -2)
Jari-jari lingkaran (r): r = √( (1)² + (-2)² - (-40) ) = √(1 + 4 + 40) = √45 = 3√5

Langkah 2: Tentukan gradien garis yang sejajar.
Garis yang diberikan: y + 2x - 6 = 0
Dalam bentuk y = mx + c, garis ini adalah y = -2x + 6.
Gradien garis ini (m_garis) adalah -2.

Karena garis singgung sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgung (m_singgung) juga -2.

Langkah 3: Gunakan rumus persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m.
Rumus persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² dengan gradien m adalah y = mx ± r√(1 + m²).

Namun, lingkaran kita berpusat di (1, -2). Kita bisa menggunakan rumus untuk lingkaran dengan pusat (h, k):
Persamaan garis singgung lingkaran (x - h)² + (y - k)² = r² dengan gradien m adalah y - k = m(x - h) ± r√(1 + m²).

Atau, kita bisa menggunakan bentuk umum persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 yang sejajar dengan y = mx + c:
Persamaan garis singgungnya adalah y + (B/2) = m(x + (A/2)) ± r√(1 + m²)

Substitusikan nilai-nilai yang kita punya:
h = 1, k = -2, r = 3√5, m = -2

y - (-2) = -2(x - 1) ± 3√5 √(1 + (-2)²)
y + 2 = -2(x - 1) ± 3√5 √(1 + 4)
y + 2 = -2x + 2 ± 3√5 √5
y + 2 = -2x + 2 ± 3 * 5
y + 2 = -2x + 2 ± 15

Kita mendapatkan dua kemungkinan persamaan garis singgung:
1) y + 2 = -2x + 2 + 15
y + 2 = -2x + 17
y = -2x + 15
atau 2x + y - 15 = 0

2) y + 2 = -2x + 2 - 15
y + 2 = -2x - 13
y = -2x - 15
atau 2x + y + 15 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar dengan garis y + 2x - 6 = 0 adalah 2x + y - 15 = 0 atau 2x + y + 15 = 0.