Persamaan garis singgung yang melalui titik M(2,1) pada

Persamaan garis singgungnya adalah x + 3y - 5 = 0

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-2x+4y-5=0$ yang melalui titik M(2,1), kita dapat menggunakan beberapa metode. Salah satunya adalah dengan mengganti gradien garis singgung ke dalam persamaan umum garis singgung.

Pertama, kita perlu menentukan pusat dan jari-jari lingkaran. Persamaan lingkaran dapat ditulis ulang dalam bentuk $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.
$x^2 - 2x + y^2 + 4y = 5$
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 5 + 1 + 4$
$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 10$

Pusat lingkaran adalah $(h,k) = (1,-2)$ dan jari-jarinya adalah $r = \sqrt{10}$.

Titik M(2,1) berada di luar lingkaran atau di dalam lingkaran atau pada lingkaran? Mari kita cek:
$(2-1)^2 + (1+2)^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.
Karena hasil substitusi titik M ke dalam persamaan lingkaran sama dengan jari-jari kuadrat ($r^2=10$), maka titik M(2,1) terletak pada lingkaran.

Untuk mencari persamaan garis singgung pada titik yang terletak pada lingkaran, kita bisa menggunakan rumus:
$x_1x + y_1y + rac{p}{2}(x+x_1) + rac{q}{2}(y+y_1) + c = 0$
Di mana $(x_1, y_1)$ adalah titik pada lingkaran, dan $x^2+y^2+px+qy+c=0$ adalah persamaan lingkaran.
Dalam kasus ini, $(x_1, y_1) = (2,1)$, $p = -2$, $q = 4$, dan $c = -5$.

Mengganti nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:
$2x + 1y + rac{-2}{2}(x+2) + rac{4}{2}(y+1) + (-5) = 0$
$2x + y - 1(x+2) + 2(y+1) - 5 = 0$
$2x + y - x - 2 + 2y + 2 - 5 = 0$
$(2x - x) + (y + 2y) + (-2 + 2 - 5) = 0$
$x + 3y - 5 = 0$

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik M(2,1) pada lingkaran adalah $x + 3y - 5 = 0$.

Metode lain menggunakan turunan:
Persamaan lingkaran: $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 10$.
Turunkan kedua sisi terhadap x:
$2(x-1) + 2(y+2)rac{dy}{dx} = 0$
$(y+2)rac{dy}{dx} = -(x-1)$
$rac{dy}{dx} = -rac{x-1}{y+2}$

Pada titik M(2,1):
Gradien ($m$) = $-rac{2-1}{1+2} = -rac{1}{3}$

Persamaan garis singgung dengan gradien $m = -1/3$ yang melalui titik (2,1) adalah:
y - y1 = m(x - x1)
y - 1 = -1/3 (x - 2)
3(y - 1) = -(x - 2)
3y - 3 = -x + 2
x + 3y - 3 - 2 = 0
x + 3y - 5 = 0