Kelas 11mathAljabar
Persamaan garis singgung yang melalui titik M(2,1) pada
Pertanyaan
Persamaan garis singgung yang melalui titik M(2,1) pada lingkaran x^2+y^2-2x+4y-5=0 adalah ....
Solusi
Verified
Persamaan garis singgungnya adalah x + 3y - 5 = 0
Pembahasan
Untuk mencari persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-2x+4y-5=0$ yang melalui titik M(2,1), kita dapat menggunakan beberapa metode. Salah satunya adalah dengan mengganti gradien garis singgung ke dalam persamaan umum garis singgung. Pertama, kita perlu menentukan pusat dan jari-jari lingkaran. Persamaan lingkaran dapat ditulis ulang dalam bentuk $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$. $x^2 - 2x + y^2 + 4y = 5$ $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 5 + 1 + 4$ $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 10$ Pusat lingkaran adalah $(h,k) = (1,-2)$ dan jari-jarinya adalah $r = \sqrt{10}$. Titik M(2,1) berada di luar lingkaran atau di dalam lingkaran atau pada lingkaran? Mari kita cek: $(2-1)^2 + (1+2)^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$. Karena hasil substitusi titik M ke dalam persamaan lingkaran sama dengan jari-jari kuadrat ($r^2=10$), maka titik M(2,1) terletak pada lingkaran. Untuk mencari persamaan garis singgung pada titik yang terletak pada lingkaran, kita bisa menggunakan rumus: $x_1x + y_1y + rac{p}{2}(x+x_1) + rac{q}{2}(y+y_1) + c = 0$ Di mana $(x_1, y_1)$ adalah titik pada lingkaran, dan $x^2+y^2+px+qy+c=0$ adalah persamaan lingkaran. Dalam kasus ini, $(x_1, y_1) = (2,1)$, $p = -2$, $q = 4$, dan $c = -5$. Mengganti nilai-nilai tersebut ke dalam rumus: $2x + 1y + rac{-2}{2}(x+2) + rac{4}{2}(y+1) + (-5) = 0$ $2x + y - 1(x+2) + 2(y+1) - 5 = 0$ $2x + y - x - 2 + 2y + 2 - 5 = 0$ $(2x - x) + (y + 2y) + (-2 + 2 - 5) = 0$ $x + 3y - 5 = 0$ Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik M(2,1) pada lingkaran adalah $x + 3y - 5 = 0$. Metode lain menggunakan turunan: Persamaan lingkaran: $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 10$. Turunkan kedua sisi terhadap x: $2(x-1) + 2(y+2)rac{dy}{dx} = 0$ $(y+2)rac{dy}{dx} = -(x-1)$ $rac{dy}{dx} = -rac{x-1}{y+2}$ Pada titik M(2,1): Gradien ($m$) = $-rac{2-1}{1+2} = -rac{1}{3}$ Persamaan garis singgung dengan gradien $m = -1/3$ yang melalui titik (2,1) adalah: y - y1 = m(x - x1) y - 1 = -1/3 (x - 2) 3(y - 1) = -(x - 2) 3y - 3 = -x + 2 x + 3y - 3 - 2 = 0 x + 3y - 5 = 0
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Lingkaran
Section: Garis Singgung Lingkaran
Apakah jawaban ini membantu?