Persamaan grafik fungsi seperti pada gambar beri- kut

y = -1/2 x^2 + x + 1.5 (dengan asumsi akar -1, 3 dan titik potong sumbu y 1.5)

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan grafik fungsi yang diberikan, kita perlu menganalisis bentuk grafik dan titik-titik yang dilaluinya.

Berdasarkan gambar, grafik tersebut terlihat seperti grafik fungsi kuadrat atau fungsi polinomial.

Titik-titik yang terlihat pada grafik:
- Perpotongan dengan sumbu y (ketika x=0): grafik memotong sumbu y di titik (0, y) di mana y nilainya antara 1 dan 2, terlihat seperti y = 1.5.
- Perpotongan dengan sumbu x (ketika y=0): grafik memotong sumbu x di dua titik, yaitu di x = -1 dan x = 3. Ini berarti (x+1) dan (x-3) adalah faktor dari persamaan.
- Puncak grafik: Puncak grafik berada di antara x=-1 dan x=3, dan terlihat pada koordinat x=1. Nilai y pada puncak ini adalah negatif, sekitar y = -2.

Karena grafik memotong sumbu x di x=-1 dan x=3, bentuk umum persamaan kuadratnya adalah y = a(x - x1)(x - x2), di mana x1 dan x2 adalah akar-akar.
Jadi, y = a(x - (-1))(x - 3) = a(x+1)(x-3).

Untuk menemukan nilai 'a', kita bisa menggunakan titik lain yang dilalui grafik, misalnya titik puncak atau titik potong sumbu y.
Jika kita gunakan titik puncak (1, -2):
-2 = a(1+1)(1-3)
-2 = a(2)(-2)
-2 = -4a
a = -2 / -4 = 1/2.

Jadi, persamaan grafiknya adalah y = 1/2 (x+1)(x-3).
Mari kita ekspansi persamaan ini:
y = 1/2 (x^2 - 3x + x - 3)
y = 1/2 (x^2 - 2x - 3)
y = 1/2 x^2 - x - 3/2.

Mari kita cek titik potong sumbu y dengan persamaan ini:
Ketika x=0, y = 1/2 (0)^2 - 0 - 3/2 = -3/2 = -1.5.

Grafik yang diberikan memotong sumbu y di nilai positif (sekitar 1.5), bukan -1.5. Ini berarti asumsi saya tentang titik puncak atau titik potong sumbu y salah, atau grafik yang saya lihat memiliki orientasi berbeda.

Mari kita perhatikan kembali gambar grafik:
- Sumbu x: dari -1 sampai 4.
- Sumbu y: dari -1 sampai 2.
- Perpotongan sumbu x: -1 dan 3.
- Perpotongan sumbu y: sekitar 1.5.
- Puncak: terlihat di x=1, nilai y negatif.

Jika akar-akarnya adalah -1 dan 3, maka persamaan adalah y = a(x+1)(x-3).
Mari kita gunakan titik potong sumbu y (0, 1.5) untuk mencari 'a'.
1.5 = a(0+1)(0-3)
1.5 = a(1)(-3)
1.5 = -3a
a = 1.5 / -3 = -0.5 = -1/2.

Jadi, persamaan grafiknya adalah y = -1/2 (x+1)(x-3).
Mari kita ekspansi persamaan ini:
y = -1/2 (x^2 - 3x + x - 3)
y = -1/2 (x^2 - 2x - 3)
y = -1/2 x^2 + x + 3/2.

Mari kita cek titik puncak:
Koordinat x puncak = -b/(2a) = -1 / (2 * (-1/2)) = -1 / (-1) = 1.
Nilai y puncak = -1/2 (1)^2 + 1 + 3/2 = -1/2 + 1 + 3/2 = -1/2 + 2/2 + 3/2 = 4/2 = 2.

Grafik menunjukkan puncak berada di nilai y negatif, bukan positif 2.

Ada kemungkinan bahwa grafik tersebut bukan fungsi kuadrat standar yang terbuka ke bawah atau ke atas, atau titik-titik yang saya interpretasikan dari gambar kurang akurat.

Jika kita melihat kembali titik-titik:
-akar x=-1 dan x=3
-titik potong y ~ 1.5
-puncak di x=1, y negatif.

Jika akar-akarnya adalah -1 dan 3, maka grafiknya harus membuka ke bawah jika titik potong y positif dan puncaknya negatif, atau membuka ke atas jika titik potong y negatif dan puncaknya positif.

Dari gambar, grafik memotong sumbu x di -1 dan 3. Ini berarti (x+1) dan (x-3) adalah faktornya.
Grafik tampak seperti parabola yang membuka ke bawah.
Jadi, y = a(x+1)(x-3) dengan a < 0.

Puncak parabola berada pada x = (-1+3)/2 = 1.
Jika kita lihat titik pada x=1, nilai y adalah negatif, sekitar -2.
Jadi, y = a(x+1)(x-3)
-2 = a(1+1)(1-3)
-2 = a(2)(-2)
-2 = -4a
a = 1/2.

Jika a = 1/2, parabola membuka ke atas. Tetapi grafik terlihat membuka ke bawah.

Mari kita periksa kembali nilai 'a' menggunakan titik potong sumbu y.
Jika titik potong sumbu y adalah (0, 1.5):
1.5 = a(0+1)(0-3)
1.5 = a(-3)
a = -0.5.

Jika a = -0.5, maka persamaan adalah y = -0.5(x+1)(x-3) = -0.5(x^2 - 2x - 3) = -0.5x^2 + x + 1.5.
Mari kita cek titik puncaknya:
x puncak = -b/(2a) = -1 / (2 * -0.5) = -1 / -1 = 1.
y puncak = -0.5(1)^2 + 1 + 1.5 = -0.5 + 1 + 1.5 = 2.

Grafik menunjukkan puncak pada y negatif, bukan positif 2.

Ada kemungkinan bahwa yang terlihat sebagai akar adalah titik lain, atau gambar tersebut tidak mewakili fungsi kuadrat sederhana.

Jika kita asumsikan bahwa grafik tersebut adalah fungsi kuadrat dan titik-titik yang terlihat adalah:
-akar x = -1 dan x = 3
-titik potong y = 1.5
-puncak di x=1, y=-2.

Persamaan y = a(x+1)(x-3) menghasilkan puncak (1, -2) jika a = 1/2.
Persamaan y = a(x+1)(x-3) menghasilkan titik potong y (0, 1.5) jika a = -1/2.

Kedua kondisi ini bertentangan.

Kemungkinan lain adalah bahwa grafik tersebut bukan fungsi kuadrat biasa, atau ada kesalahan dalam interpretasi titik dari gambar.

Namun, jika kita harus memilih persamaan berdasarkan akar -1 dan 3 serta perilaku umum parabola, maka persamaan yang paling mendekati adalah salah satu dari:
y = 1/2 (x+1)(x-3) atau y = -1/2 (x+1)(x-3).

Jika kita melihat titik (0, 1.5) sebagai titik potong sumbu y, maka y = -1/2 x^2 + x + 1.5.
Grafik ini memiliki akar di:
-1/2 x^2 + x + 1.5 = 0
x^2 - 2x - 3 = 0
(x-3)(x+1) = 0
x = 3 atau x = -1.

Puncaknya adalah (1, 2).

Jika kita melihat titik (1, -2) sebagai puncak, maka y = 1/2 x^2 - x - 3/2.
Grafik ini memiliki puncak (1, -2).
Akar-akarnya adalah:
1/2 x^2 - x - 3/2 = 0
x^2 - 2x - 3 = 0
(x-3)(x+1) = 0
x = 3 atau x = -1.

Titik potong sumbu y adalah (0, -1.5).

Berdasarkan gambar, titik potong sumbu y adalah positif (sekitar 1.5), dan puncak berada di y negatif. Hal ini bertentangan dengan kedua persamaan di atas.

Namun, jika kita mengabaikan ketidaksesuaian pada puncak dan hanya berfokus pada akar dan titik potong sumbu y, maka y = -1/2 x^2 + x + 1.5 tampaknya paling cocok karena memiliki akar di -1 dan 3, serta titik potong sumbu y di 1.5.

Kemungkinan besar, gambar grafik tidak sepenuhnya akurat atau saya salah menginterpretasikan detailnya.

Jika kita berasumsi bahwa soal ini mengacu pada fungsi kuadrat dengan akar -1 dan 3, serta melewati titik (0, 1.5), maka persamaannya adalah y = -1/2 x^2 + x + 1.5.