Persamaan kuadrat 3x^2+6x-1=0 mempunyai akar-akar a dan b.

Persamaan kuadrat baru adalah 3x^2 - 18x + 11 = 0.

Pembahasan

Diberikan persamaan kuadrat 3x^2 + 6x - 1 = 0.
Misalkan akar-akarnya adalah $\alpha$ dan $\beta$.
Menurut Vieta, kita punya:
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{3} = -2$
$\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-1}{3}$

Kita ingin mencari persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah $(1-2\alpha)$ dan $(1-2\beta)$.
Misalkan akar-akar baru ini adalah $\alpha'$ dan $\beta'$.
$
\alpha' = 1 - 2\alpha$
$
\beta' = 1 - 2\beta$

Untuk persamaan kuadrat baru, kita perlu mencari jumlah akar-akar baru ($\alpha' + \beta'$) dan hasil kali akar-akar baru ($\alpha' \beta'$).

Jumlah akar-akar baru:
$\alpha' + \beta' = (1 - 2\alpha) + (1 - 2\beta)$
$\alpha' + \beta' = 2 - 2(\alpha + \beta)$
Kita sudah tahu $\alpha + \beta = -2$, jadi:
$\alpha' + \beta' = 2 - 2(-2)$
$\alpha' + \beta' = 2 + 4$
$\alpha' + \beta' = 6$

Hasil kali akar-akar baru:
$\alpha' \beta' = (1 - 2\alpha)(1 - 2\beta)$
$\alpha' \beta' = 1 - 2\beta - 2\alpha + 4\alpha\beta$
$\alpha' \beta' = 1 - 2(\alpha + \beta) + 4\alpha\beta$
Kita sudah tahu $\alpha + \beta = -2$ dan $\alpha\beta = -1/3$, jadi:
$\alpha' \beta' = 1 - 2(-2) + 4(-\frac{1}{3})$
$\alpha' \beta' = 1 + 4 - \frac{4}{3}$
$\alpha' \beta' = 5 - \frac{4}{3}$
$\alpha' \beta' = \frac{15}{3} - \frac{4}{3}$
$\alpha' \beta' = \frac{11}{3}$

Persamaan kuadrat baru memiliki bentuk $x^2 - (\alpha' + \beta')x + \alpha' \beta' = 0$.
Substitusikan nilai yang kita dapatkan:
$x^2 - (6)x + \frac{11}{3} = 0$
$x^2 - 6x + \frac{11}{3} = 0$

Untuk menghilangkan pecahan, kalikan seluruh persamaan dengan 3:
$3(x^2 - 6x + \frac{11}{3}) = 3(0)$
$3x^2 - 18x + 11 = 0$

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(1-2a)$ dan $(1-2b)$ adalah $3x^2 - 18x + 11 = 0$.