Persamaan lingkaran yang melalui titik A(1,2); B(2,1); dan

Persamaan lingkarannya adalah x² + y² - 2x - 2y + 1 = 0 atau (x - 1)² + (y - 1)² = 1.

Pembahasan

Untuk menemukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik A(1,2), B(2,1), dan C(1,0), kita gunakan bentuk umum persamaan lingkaran: x² + y² + Ax + By + C = 0.

Kita substitusikan koordinat setiap titik ke dalam persamaan umum:

1.  **Titik A(1,2):**
    (1)² + (2)² + A(1) + B(2) + C = 0
    1 + 4 + A + 2B + C = 0
    A + 2B + C = -5  (Persamaan 1)

2.  **Titik B(2,1):**
    (2)² + (1)² + A(2) + B(1) + C = 0
    4 + 1 + 2A + B + C = 0
    2A + B + C = -5  (Persamaan 2)

3.  **Titik C(1,0):**
    (1)² + (0)² + A(1) + B(0) + C = 0
    1 + 0 + A + 0 + C = 0
    A + C = -1      (Persamaan 3)

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear tiga variabel:
Dari Persamaan 3, kita dapatkan C = -1 - A.

Substitusikan C ke Persamaan 1:
A + 2B + (-1 - A) = -5
A + 2B - 1 - A = -5
2B - 1 = -5
2B = -4
B = -2

Substitusikan B = -2 ke Persamaan 2:
2A + (-2) + C = -5
2A + C = -3      (Persamaan 4)

Sekarang kita punya dua persamaan dengan A dan C:
Persamaan 3: A + C = -1
Persamaan 4: 2A + C = -3

Kurangkan Persamaan 3 dari Persamaan 4:
(2A + C) - (A + C) = -3 - (-1)
2A + C - A - C = -3 + 1
A = -2

Sekarang substitusikan A = -2 ke Persamaan 3 untuk mencari C:
-2 + C = -1
C = -1 + 2
C = 1

Jadi, kita mendapatkan A = -2, B = -2, dan C = 1.

Substitusikan nilai A, B, dan C ke dalam persamaan umum lingkaran:
x² + y² + Ax + By + C = 0
x² + y² + (-2)x + (-2)y + 1 = 0
x² + y² - 2x - 2y + 1 = 0

Untuk mengubah ke bentuk (x-h)² + (y-k)² = r²:
(x² - 2x) + (y² - 2y) = -1
Lengkapi kuadrat:
(x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) = -1 + 1 + 1
(x - 1)² + (y - 1)² = 1

Jadi, persamaan lingkarannya adalah x² + y² - 2x - 2y + 1 = 0, atau dalam bentuk standar (x - 1)² + (y - 1)² = 1.