Persamaan x^3-3x^2 + px +q = 0 mempunyai akar kembar. Akar

$p=-9$, $q=27$, akar-akarnya adalah $3, 3, -3$.

Pembahasan

Persamaan polinomial yang diberikan adalah $x^3 - 3x^2 + px + q = 0$. Diketahui bahwa persamaan ini memiliki akar kembar dan akar ketiga merupakan lawan dari akar kembar tersebut.

Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah $\alpha, \alpha,$ dan $-\alpha$.

Menurut Teorema Vieta untuk persamaan kubik $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, berlaku:
1. Jumlah akar: $\alpha + \alpha + (-\alpha) = -b/a$
2. Jumlah hasil kali akar berdua: $\alpha \cdot \alpha + \alpha \cdot (-\alpha) + \alpha \cdot (-\alpha) = c/a$
3. Hasil kali akar: $\alpha \cdot \alpha \cdot (-\alpha) = -d/a$

Dalam persamaan kita, $a=1, b=-3, c=p, d=q$. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus Vieta:

1. $\alpha + \alpha - \alpha = -(-3)/1$
$\alpha = 3$

Jadi, akar-akarnya adalah $3, 3,$ dan $-3$.

2. $\alpha^2 - \alpha^2 - \alpha^2 = p/1$
$-\alpha^2 = p$
$-(3)^2 = p$
$-9 = p$

3. $-\alpha^3 = -q/1$
$-\alpha^3 = -q$
$-q = - (3)^3$
$-q = -27$
$q = 27$

Maka, nilai $p = -9$, $q = 27$, dan akar-akarnya adalah $3, 3, -3$.