Pertidaksamaan 4^(2logx)-5.2^(2logx)+ 6< 0 dipenuhi oleh

Rentang nilai x tergantung pada basis logaritma. Jika basis 10, maka √10 < x < 10^(log₄3). Jika basis 2, maka √2 < x < √3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan 4^(2logx) - 5 * 2^(2logx) + 6 < 0, kita perlu melakukan substitusi.
Misalkan y = 2^(2logx).
Perhatikan bahwa 4^(2logx) = (2^2)^(2logx) = 2^(2 * 2logx) = 2^(4logx). Namun, bentuk yang lebih umum adalah 4^(2logx) = (2^(2logx))^2.
Jadi, jika y = 2^(2logx), maka 4^(2logx) = y^2.

Pertidaksamaan menjadi:
y^2 - 5y + 6 < 0

Kita faktorkan pertidaksamaan kuadrat ini:
(y - 2)(y - 3) < 0

Agar hasil perkalian ini negatif, maka salah satu faktor harus positif dan faktor lainnya negatif. Ada dua kemungkinan:
1. y - 2 > 0 dan y - 3 < 0  => y > 2 dan y < 3  => 2 < y < 3
2. y - 2 < 0 dan y - 3 > 0  => y < 2 dan y > 3  => Tidak ada solusi

Jadi, solusi untuk y adalah 2 < y < 3.

Sekarang kita substitusikan kembali y = 2^(2logx):
2 < 2^(2logx) < 3

Kita perlu menyelesaikan dua bagian pertidaksamaan:
1. 2 < 2^(2logx)
   Karena basisnya sama (2 > 1), kita bisa menyamakan eksponennya:
   1 < 2logx
   1/2 < logx
   Mengubah ke bentuk eksponensial (dengan asumsi logaritma berbasis 10 atau basis lain yang > 1):
   10^(1/2) < x  atau basis^ (1/2) < x.
   Jika logaritma adalah logaritma natural (ln), maka e^(1/2) < x.
   Jika kita asumsikan logaritma adalah logaritma basis 10 (log), maka √10 < x.

2. 2^(2logx) < 3
   Ambil logaritma dari kedua sisi (misalnya log basis 10):
   log(2^(2logx)) < log(3)
   (2logx) * log(2) < log(3)
   logx < log(3) / (2 * log(2))
   logx < log(3) / log(4)
   logx < log₄(3)
   Mengubah ke bentuk eksponensial:
   x < 10^(log₄(3)) (jika basisnya 10)

Perlu diperhatikan domain dari logaritma, yaitu x > 0.

Jika kita mengasumsikan logaritma adalah logaritma natural (ln):
1. 1 < 2 ln(x)
   1/2 < ln(x)
   e^(1/2) < x
   √e < x

2. 2 ln(x) < log(3) (Ini salah, seharusnya ln(2^(2lnx)) < ln(3))
   2 ln(x) ln(2) < ln(3)
   ln(x) < ln(3) / (2 ln(2))
   ln(x) < ln(3) / ln(4)
   ln(x) < log₄(3)
   x < e^(log₄(3))

Jika kita mengasumsikan logaritma adalah logaritma basis 2 (²log):
1. 1 < 2 * ²logx
   1/2 < ²logx
   2^(1/2) < x
   √2 < x

2. 2 * ²logx < log₂(3)
   ²logx < log₂(3) / 2
   ²logx < log₂(3^(1/2))
   ²logx < ²log(√3)
   x < √3

Jadi, jika basis logaritma adalah 2, maka √2 < x < √3.

Karena soal tidak menyebutkan basis logaritma, kita asumsikan basisnya adalah 10.

√10 < x < 10^(log₄(3))
Nilai √10 ≈ 3.16
log₄(3) = log(3)/log(4) ≈ 0.477/0.602 ≈ 0.792
10^(0.792) ≈ 6.19

Jadi, √10 < x < 10^(log₄(3)).

Namun, jika kita melihat pilihan jawaban yang mungkin (yang tidak disertakan di sini), biasanya soal seperti ini menggunakan logaritma basis 2 atau 10. Jika basisnya 2, jawabannya adalah √2 < x < √3.

Mari kita periksa ulang asumsi y = 2^(2logx). Seringkali bentuknya adalah a^(f(x)). Di sini basisnya 4 dan 2, dengan eksponen yang sama (2logx).

Jika kita gunakan sifat logaritma:
4^(2logx) = (2^2)^(2logx) = 2^(4logx). Ini kurang membantu.
Atau 4^(2logx) = (4^2)^(logx) = 16^(logx). Ini juga kurang membantu.

Mari kita kembali ke y = 2^(2logx). Ini berarti 2logx harus ada (x > 0).

Jika kita lihat bentuk 2^(2logx), ini bisa ditulis sebagai (2^2)^(logx) = 4^(logx) atau 2^(log(x^2)).
Jika kita asumsikan logaritma adalah logaritma natural (ln):
y = 2^(2lnx)

Pertidaksamaan: y^2 - 5y + 6 < 0
Solusi: 2 < y < 3

2 < 2^(2lnx) < 3

1. 2 < 2^(2lnx)
   1 < 2lnx
   1/2 < lnx
   e^(1/2) < x  => √e < x

2. 2^(2lnx) < 3
   ln(2^(2lnx)) < ln(3)
   2lnx * ln2 < ln3
   lnx < ln3 / (2ln2)
   lnx < ln3 / ln4
   lnx < log₄3
   x < e^(log₄3)

Jadi, rentang x adalah √e < x < e^(log₄3).

Jika basis logaritma adalah 10:
1. 2 < 2^(2logx)
   1 < 2logx
   1/2 < logx
   10^(1/2) < x => √10 < x

2. 2^(2logx) < 3
   log(2^(2logx)) < log(3)
   2logx * log2 < log3
   logx < log3 / (2log2)
   logx < log3 / log4
   logx < log₄3
   x < 10^(log₄3)

Jadi, rentang x adalah √10 < x < 10^(log₄3).

Karena tidak ada pilihan jawaban, jawaban akan bergantung pada basis logaritma yang diasumsikan.