Pertidaksamaan (x^2+x-12)/(2x^2+9x+4)<=0 berlaku untuk ....

$-1/2 < x < 3$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{x^2+x-12}{2x^2+9x+4} \le 0$, kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu.

Pembilang: $x^2+x-12 = 0 \implies (x+4)(x-3)=0 \implies x=-4$ atau $x=3$.

Penyebut: $2x^2+9x+4 = 0 \implies (2x+1)(x+4)=0 \implies x=-\frac{1}{2}$ atau $x=-4$.

Karena penyebut tidak boleh nol, maka $x \ne -4$ dan $x \ne -\frac{1}{2}$.

Kita uji interval yang dibentuk oleh akar-akar tersebut: -4, -1/2, 3.

1. Interval $x < -4$: Pilih $x=-5$. $\frac{(-5)^2+(-5)-12}{2(-5)^2+9(-5)+4} = \frac{25-5-12}{50-45+4} = \frac{8}{9} > 0$.
2. Interval $-4 < x < -\frac{1}{2}$: Pilih $x=-1$. $\frac{(-1)^2+(-1)-12}{2(-1)^2+9(-1)+4} = \frac{1-1-12}{2-9+4} = \frac{-12}{-3} = 4 > 0$.
3. Interval $-\frac{1}{2} < x < 3$: Pilih $x=0$. $\frac{0^2+0-12}{2(0)^2+9(0)+4} = \frac{-12}{4} = -3 \le 0$.
4. Interval $x > 3$: Pilih $x=4$. $\frac{4^2+4-12}{2(4)^2+9(4)+4} = \frac{16+4-12}{32+36+4} = \frac{8}{72} = \frac{1}{9} > 0$.

Pertidaksamaan $\le 0$ terpenuhi pada interval $-\frac{1}{2} < x < 3$. Namun, kita harus memperhatikan bahwa $x=-4$ adalah akar dari pembilang dan penyebut. Ketika $x=-4$, ekspresi tersebut tidak terdefinisi.

Oleh karena itu, pertidaksamaan berlaku untuk $-\frac{1}{2} < x < 3$.