Rina membuat sketsa sebuah boneka salju yang terdiri dari

Persamaan lingkaran badan adalah (x - 30)^2 + (y - 40)^2 = (50 - sqrt(255))^2

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan lingkaran badan boneka salju, kita perlu mengetahui pusat dan jari-jari lingkaran badan tersebut.

Diketahui:
Tinggi boneka = 100 cm
Persamaan lingkaran kepala: x^2 + y^2 - 60x - 180y + 8775 = 0
Garis yang menghubungkan pusat-pusat lingkaran sejajar dengan Sumbu Y.

Langkah 1: Cari pusat dan jari-jari lingkaran kepala.
Persamaan umum lingkaran: (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
Untuk mengubah persamaan kepala ke bentuk ini, kita gunakan metode melengkapkan kuadrat:
x^2 - 60x + y^2 - 180y = -8775
(x^2 - 60x + 900) + (y^2 - 180y + 8100) = -8775 + 900 + 8100
(x - 30)^2 + (y - 90)^2 = 255

Jadi, pusat lingkaran kepala adalah (30, 90) dan jari-jarinya adalah sqrt(255).

Langkah 2: Tentukan pusat lingkaran badan.
Karena garis yang menghubungkan pusat-pusat lingkaran sejajar dengan Sumbu Y, maka koordinat x dari kedua pusat adalah sama. Jadi, pusat lingkaran badan memiliki koordinat x = 30.

Tinggi boneka adalah 100 cm. Lingkaran kepala berada di bagian atas boneka. Jika kita asumsikan jari-jari kepala adalah r_kepala, maka tinggi dari pusat kepala ke bagian paling atas boneka adalah r_kepala. Jari-jari kepala adalah sqrt(255) ≈ 15.97 cm. Jadi, bagian atas boneka berada di y = 90 + sqrt(255).

Jarak antara pusat kepala dan pusat badan adalah tinggi dari "badan". Kita bisa asumsikan tinggi "badan" adalah selisih tinggi boneka dikurangi tinggi "kepala" (dalam artian diameter kepala jika kepala bersentuhan dengan badan).
Namun, cara yang lebih umum adalah pusat lingkaran badan berada tepat di bawah pusat lingkaran kepala, dan jarak antara pusat tersebut adalah diameter lingkaran kepala jika kedua lingkaran bersentuhan.

Jika kita asumsikan kedua lingkaran bersentuhan dan tingginya 100 cm, maka jarak dari pusat kepala ke pusat badan adalah diameter kepala (2 * r_kepala). Namun, ini tidak memperhitungkan tinggi keseluruhan boneka.

Alternatif lain: Jarak vertikal antara pusat lingkaran kepala dan pusat lingkaran badan adalah selisih tinggi boneka dikurangi jari-jari kepala (jika diasumsikan bagian bawah kepala menyentuh bagian atas badan). Namun, ini juga tidak sepenuhnya jelas.

Mari kita asumsikan yang paling masuk akal: Garis yang menghubungkan pusat-pusat lingkaran sejajar dengan Sumbu Y berarti pusat badan memiliki koordinat x yang sama dengan pusat kepala, yaitu 30.

Jika kita anggap tinggi kepala adalah diameternya (2 * sqrt(255)), maka sisa tinggi untuk badan adalah 100 - 2*sqrt(255). Pusat badan akan berada di bawah pusat kepala. Maka, koordinat y pusat badan adalah 90 - (2*sqrt(255)).

Namun, jika kita melihat soalnya, ada kemungkinan sederhana bahwa kedua lingkaran bersentuhan secara vertikal dan total tinggi adalah 100cm. Pusat kepala (30, 90). Jari-jari kepala = sqrt(255).

Jika pusat badan adalah (30, y_badan) dan jari-jari badan adalah r_badan.

Jika kita asumsikan tinggi "kepala" adalah 2 * r_kepala, maka tinggi kepala sekitar 2 * 15.97 = 31.94 cm. Maka tinggi badan adalah 100 - 31.94 = 68.06 cm.

Pusat badan akan berada di bawah pusat kepala. Jarak vertikal antara pusat kepala dan pusat badan adalah diameter kepala jika lingkaran bersentuhan. Jadi, y_badan = 90 - 2*sqrt(255) = 90 - 31.94 = 58.06.

Namun, ini tidak memberikan informasi tentang jari-jari badan.

Mari kita tinjau kembali informasi "garis yang menghubungkan pusat-pusat lingkaran sejajar dengan Sumbu Y". Ini hanya memastikan pusat badan adalah (30, y_badan).

Ada informasi yang kurang untuk menentukan jari-jari badan atau posisi pasti pusat badan. Namun, jika kita melihat opsi jawaban yang mungkin (jika ini adalah soal pilihan ganda), atau jika ada asumsi standar, kita bisa lanjutkan.

Jika kita mengasumsikan jari-jari lingkaran badan sama dengan jari-jari lingkaran kepala (meskipun tidak disebutkan), maka r_badan = sqrt(255).
Dan jika kita asumsikan badan berada tepat di bawah kepala, dan tinggi total 100cm, serta kepala menempati bagian atas.

Pusat kepala (30, 90). Jari-jari kepala = sqrt(255).
Pusat badan (30, y_b). Jari-jari badan = r_b.

Jika kita mengasumsikan badan berada di bawah kepala dan kedua lingkaran bersentuhan, maka:
y_kepala - r_kepala = y_badan + r_badan
90 - sqrt(255) = y_badan + r_badan

Dan tinggi total adalah 100 cm. Ini bisa berarti jarak dari bagian paling bawah boneka ke bagian paling atas boneka adalah 100 cm.

Jika kita mengasumsikan ukuran boneka salju adalah simetris atau mengikuti pola tertentu:
Diameter kepala = 2 * sqrt(255) ≈ 31.94 cm.
Jika badan memiliki diameter yang sama, maka r_badan = sqrt(255).

Pusat badan y_badan = 90 - (2 * sqrt(255)) ≈ 90 - 31.94 = 58.06.

Persamaan lingkaran badan: (x - 30)^2 + (y - 58.06)^2 = 255

Jika kita mencoba pendekatan lain: Tinggi boneka 100 cm. Misalkan jari-jari kepala adalah r1 dan jari-jari badan adalah r2. Tinggi kepala adalah 2*r1, tinggi badan adalah 2*r2. Total tinggi = 2*r1 + 2*r2 = 100, atau r1 + r2 = 50.

Dari persamaan kepala, r1 = sqrt(255) ≈ 15.97.
Maka r2 = 50 - 15.97 = 34.03.
Jari-jari badan adalah 34.03, atau r2^2 = (34.03)^2 ≈ 1158.

Pusat kepala (30, 90).
Pusat badan (30, y_b).
Jarak antara pusat = r1 + r2 = 50.

y_kepala - y_badan = 50
90 - y_badan = 50
y_badan = 40.

Jadi, pusat badan adalah (30, 40) dan jari-jari badan adalah 34.03.
Persamaan lingkaran badan: (x - 30)^2 + (y - 40)^2 = (34.03)^2
(x - 30)^2 + (y - 40)^2 ≈ 1158
x^2 - 60x + 900 + y^2 - 80y + 1600 ≈ 1158
x^2 + y^2 - 60x - 80y + 2500 - 1158 ≈ 0
x^2 + y^2 - 60x - 80y + 1342 ≈ 0

Ini adalah interpretasi yang paling logis berdasarkan informasi yang diberikan dan asumsi umum tentang boneka salju. Namun, tanpa pilihan jawaban atau klarifikasi lebih lanjut, ini adalah asumsi.

Mari kita cari pusat lingkaran kepala dengan melengkapkan kuadrat:
x^2 + y^2 - 60x - 180y + 8775 = 0
(x^2 - 60x) + (y^2 - 180y) = -8775
(x^2 - 60x + 900) + (y^2 - 180y + 8100) = -8775 + 900 + 8100
(x - 30)^2 + (y - 90)^2 = 255
Pusat lingkaran kepala (P1) adalah (30, 90). Jari-jari kepala (r1) adalah sqrt(255).

Garis yang menghubungkan pusat-pusat lingkaran sejajar dengan Sumbu Y, berarti pusat lingkaran badan (P2) memiliki koordinat x yang sama, yaitu 30. Jadi, P2 = (30, y2).

Tinggi boneka adalah 100 cm. Kita asumsikan bahwa lingkaran kepala berada di atas lingkaran badan, dan kedua lingkaran bersentuhan.

Maka, jarak vertikal antara pusat P1 dan P2 adalah jumlah jari-jari mereka: |y1 - y2| = r1 + r2.

Kita juga tahu bahwa tinggi total boneka adalah 100 cm. Ini bisa berarti jarak dari titik terendah boneka (bagian bawah lingkaran badan) ke titik tertinggi boneka (bagian atas lingkaran kepala) adalah 100 cm.

Titik tertinggi kepala = y1 + r1 = 90 + sqrt(255).
Titik terendah badan = y2 - r2.

Tinggi total = (y1 + r1) - (y2 - r2) = 100
(90 + sqrt(255)) - (y2 - r2) = 100

Kita punya dua persamaan dengan dua variabel (y2 dan r2):
1) |90 - y2| = sqrt(255) + r2
2) 90 + sqrt(255) - y2 + r2 = 100

Dari persamaan 1, karena badan di bawah kepala, maka y2 < 90. Jadi, 90 - y2 = sqrt(255) + r2.

Substitusikan ke persamaan 2:
90 + sqrt(255) - (90 - sqrt(255) - r2) + r2 = 100
90 + sqrt(255) - 90 + sqrt(255) + r2 + r2 = 100
2*sqrt(255) + 2*r2 = 100
r2 = (100 - 2*sqrt(255)) / 2
r2 = 50 - sqrt(255)

Sekarang cari y2 menggunakan 90 - y2 = sqrt(255) + r2:
90 - y2 = sqrt(255) + (50 - sqrt(255))
90 - y2 = 50
y2 = 40.

Jadi, pusat lingkaran badan adalah (30, 40) dan jari-jarinya adalah 50 - sqrt(255).

Sekarang kita buat persamaannya:
(x - 30)^2 + (y - 40)^2 = (50 - sqrt(255))^2
(x - 30)^2 + (y - 40)^2 = 50^2 - 2 * 50 * sqrt(255) + (sqrt(255))^2
(x - 30)^2 + (y - 40)^2 = 2500 - 100*sqrt(255) + 255
(x - 30)^2 + (y - 40)^2 = 2755 - 100*sqrt(255)

Jabarkan:
x^2 - 60x + 900 + y^2 - 80y + 1600 = 2755 - 100*sqrt(255)
x^2 + y^2 - 60x - 80y + 2500 = 2755 - 100*sqrt(255)
x^2 + y^2 - 60x - 80y + 2500 - 2755 + 100*sqrt(255) = 0
x^2 + y^2 - 60x - 80y - 255 + 100*sqrt(255) = 0

Ini adalah jawaban yang paling akurat berdasarkan interpretasi matematis yang ketat.