Salah satu lingkaran yang melalui titik (1,5) dan titik

Lingkaran yang melalui (1,5) dan (4,1) serta menyinggung sumbu Y memiliki dua kemungkinan jari-jari: 205/18 atau 5/2.

Pembahasan

Misalkan persamaan lingkaran adalah (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. Lingkaran menyinggung sumbu Y, yang berarti jarak dari pusat lingkaran (a,b) ke sumbu Y adalah jari-jari (r). Jarak ini adalah nilai absolut dari koordinat x pusat, yaitu |a|. Jadi, r = |a| atau r^2 = a^2.

Karena lingkaran melalui titik (1,5) dan (4,1), kita substitusikan titik-titik ini ke dalam persamaan lingkaran:

Untuk titik (1,5):
(1-a)^2 + (5-b)^2 = r^2
1 - 2a + a^2 + 25 - 10b + b^2 = r^2
26 - 2a + a^2 - 10b + b^2 = r^2  (Persamaan 1)

Untuk titik (4,1):
(4-a)^2 + (1-b)^2 = r^2
16 - 8a + a^2 + 1 - 2b + b^2 = r^2
17 - 8a + a^2 - 2b + b^2 = r^2  (Persamaan 2)

Karena r^2 = a^2, kita substitusikan ke kedua persamaan:

Dari Persamaan 1:
26 - 2a + a^2 - 10b + b^2 = a^2
26 - 2a - 10b + b^2 = 0  (Persamaan 3)

Dari Persamaan 2:
17 - 8a + a^2 - 2b + b^2 = a^2
17 - 8a - 2b + b^2 = 0  (Persamaan 4)

Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan dua variabel (a dan b):
3) 26 - 2a - 10b + b^2 = 0
4) 17 - 8a - 2b + b^2 = 0

Kurangkan Persamaan 4 dari Persamaan 3:
(26 - 2a - 10b + b^2) - (17 - 8a - 2b + b^2) = 0
26 - 2a - 10b + b^2 - 17 + 8a + 2b - b^2 = 0
9 + 6a - 8b = 0
6a = 8b - 9
a = (8b - 9) / 6

Substitusikan nilai 'a' ke Persamaan 4:
17 - 8 * ((8b - 9) / 6) - 2b + b^2 = 0
17 - (4/3) * (8b - 9) - 2b + b^2 = 0
Kalikan seluruh persamaan dengan 3 untuk menghilangkan pecahan:
51 - 4 * (8b - 9) - 6b + 3b^2 = 0
51 - 32b + 36 - 6b + 3b^2 = 0
3b^2 - 38b + 87 = 0

Kita bisa menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai b: b = [-B ± sqrt(B^2 - 4AC)] / 2A
Di sini, A=3, B=-38, C=87

b = [38 ± sqrt((-38)^2 - 4 * 3 * 87)] / (2 * 3)
b = [38 ± sqrt(1444 - 1044)] / 6
b = [38 ± sqrt(400)] / 6
b = [38 ± 20] / 6

Ada dua kemungkinan nilai b:

b1 = (38 + 20) / 6 = 58 / 6 = 29 / 3
b2 = (38 - 20) / 6 = 18 / 6 = 3

Sekarang kita cari nilai 'a' untuk setiap nilai 'b':

Jika b = 29/3:
a = (8 * (29/3) - 9) / 6 = ((232/3) - 27/3) / 6 = (205/3) / 6 = 205 / 18
Jari-jari (r) = |a| = 205/18

Jika b = 3:
a = (8 * 3 - 9) / 6 = (24 - 9) / 6 = 15 / 6 = 5 / 2
Jari-jari (r) = |a| = 5/2

Jadi, ada dua kemungkinan jari-jari lingkaran, yaitu 205/18 atau 5/2.