Salah satu persamaan garis singgung kurva y=x^3-2x^2-2x+5

2x - y - 3 = 0

Pembahasan

Kita diminta mencari persamaan garis singgung kurva y = x^3 - 2x^2 - 2x + 5 yang tegak lurus dengan garis x + 2y + 7 = 0.

Langkah 1: Cari gradien garis x + 2y + 7 = 0.
Kita ubah persamaan garis ke bentuk y = mx + c, di mana m adalah gradien.
2y = -x - 7
y = (-1/2)x - 7/2
Jadi, gradien garis ini adalah m1 = -1/2.

Langkah 2: Cari gradien garis singgung.
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis x + 2y + 7 = 0, maka hasil perkalian gradien keduanya adalah -1.
Gradien garis singgung (m2) * m1 = -1
m2 * (-1/2) = -1
m2 = 2

Langkah 3: Cari turunan pertama dari kurva y = x^3 - 2x^2 - 2x + 5.
Turunan pertama (dy/dx) memberikan gradien garis singgung pada setiap titik di kurva.
dy/dx = 3x^2 - 4x - 2

Langkah 4: Samakan turunan pertama dengan gradien garis singgung (m2 = 2) untuk mencari nilai x.
3x^2 - 4x - 2 = 2
3x^2 - 4x - 4 = 0
Kita faktorkan persamaan kuadrat ini:
(3x + 2)(x - 2) = 0
Maka, x = -2/3 atau x = 2.

Langkah 5: Cari nilai y yang sesuai untuk x = -2/3 dan x = 2.
Jika x = -2/3:
y = (-2/3)^3 - 2(-2/3)^2 - 2(-2/3) + 5
y = -8/27 - 2(4/9) + 4/3 + 5
y = -8/27 - 8/9 + 4/3 + 5
Samakan penyebut menjadi 27:
y = -8/27 - 24/27 + 36/27 + 135/27
y = (-8 - 24 + 36 + 135) / 27
y = 139/27
Jadi, titiknya adalah (-2/3, 139/27).

Jika x = 2:
y = (2)^3 - 2(2)^2 - 2(2) + 5
y = 8 - 2(4) - 4 + 5
y = 8 - 8 - 4 + 5
y = 1
Jadi, titiknya adalah (2, 1).

Langkah 6: Gunakan rumus persamaan garis y - y1 = m(x - x1) untuk kedua titik.
Untuk titik (-2/3, 139/27) dengan gradien 2:
y - 139/27 = 2(x - (-2/3))
y - 139/27 = 2(x + 2/3)
y - 139/27 = 2x + 4/3
Samakan penyebut menjadi 27:
y - 139/27 = 54/27 x + 36/27
Kalikan kedua sisi dengan 27:
27y - 139 = 54x + 36
54x - 27y + 36 + 139 = 0
54x - 27y + 175 = 0

Untuk titik (2, 1) dengan gradien 2:
y - 1 = 2(x - 2)
y - 1 = 2x - 4
2x - y - 4 + 1 = 0
2x - y - 3 = 0

Jadi, salah satu persamaan garis singgung kurva tersebut adalah 2x - y - 3 = 0.