Salah satu titik balik grafik f(x)=1/6x^3-2x adalah ....

Salah satu titik balik grafik adalah $(2, -8/3)$ atau $(-2, 8/3)$.

Pembahasan

Untuk mencari titik balik dari grafik fungsi $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - 2x$, kita perlu mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut.

1.  **Turunan Pertama ($f'(x)$):**
    $f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{6}x^3 - 2x)$
    $f'(x) = \frac{1}{6} \cdot 3x^2 - 2$
    $f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2$

    Titik balik terjadi pada saat gradien garis singgungnya nol, yaitu $f'(x) = 0$.
    $\frac{1}{2}x^2 - 2 = 0$
    $\frac{1}{2}x^2 = 2$
    $x^2 = 4$
    $x = \pm 2$

2.  **Turunan Kedua ($f''(x)$):**
    $f''(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}x^2 - 2)$
    $f''(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x$
    $f''(x) = x$

3.  **Menguji Titik Balik menggunakan Turunan Kedua:**
    Titik balik terjadi jika $f''(x) = 0$. Namun, dalam konteks ini, titik balik (atau titik stasioner) mengacu pada perubahan kecekungan grafik, yang terjadi ketika turunan kedua bernilai nol. Titik belok adalah titik di mana kecekungan berubah.

    Untuk menemukan titik belok, kita set $f''(x) = 0$:
    $x = 0$

    Sekarang kita substitusikan nilai $x$ yang membuat $f'(x)=0$ ke dalam $f''(x)$ untuk menentukan apakah itu titik balik atau bukan:
    -   Untuk $x = 2$: $f''(2) = 2$. Karena $f''(2) > 0$, maka $x=2$ adalah titik balik minimum.
    -   Untuk $x = -2$: $f''(-2) = -2$. Karena $f''(-2) < 0$, maka $x=-2$ adalah titik balik maksimum.

    Pertanyaan ini secara spesifik menanyakan "salah satu titik balik". Titik balik (ekstrem lokal) adalah titik di mana turunan pertama adalah nol. Nilai $x$ yang membuat turunan pertama nol adalah $x=2$ dan $x=-2$.

    Mari kita cari nilai $y$ untuk titik-titik ini:
    -   Jika $x = 2$: $f(2) = \frac{1}{6}(2)^3 - 2(2) = \frac{1}{6}(8) - 4 = \frac{4}{3} - 4 = \frac{4-12}{3} = -\frac{8}{3}$. Jadi, salah satu titik baliknya adalah $(2, -\frac{8}{3})$.
    -   Jika $x = -2$: $f(-2) = \frac{1}{6}(-2)^3 - 2(-2) = \frac{1}{6}(-8) + 4 = -\frac{4}{3} + 4 = \frac{-4+12}{3} = \frac{8}{3}$. Jadi, titik balik lainnya adalah $(-2, \frac{8}{3})$.

    Pertanyaan meminta "salah satu titik balik". Kedua titik $(2, -\frac{8}{3})$ dan $(-2, \frac{8}{3})$ adalah titik balik (ekstrem lokal). Jika yang dimaksud adalah titik belok, maka itu terjadi saat $f''(x)=0$, yaitu di $x=0$, dan $f(0)=0$, sehingga titik beloknya adalah $(0,0)$. Namun, istilah "titik balik" dalam konteks kalkulus sering merujuk pada titik ekstrem (maksimum atau minimum lokal). Berdasarkan pilihan yang mungkin ada dalam soal pilihan ganda, biasanya yang dicari adalah titik ekstrem.