Salinlah barisan bilangan berikut, kemudian tentukan tiga

32

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan sifat limit trigonometri dan substitusi. Fungsi yang diberikan adalah lim x->0 (sin 2x.sin^2 8x)/(x^2 sin 4x). Kita bisa menulis ulang ini sebagai: lim x->0 (sin 2x / x) * (sin^2 8x / x) * (1 / sin 4x).  Kita tahu bahwa lim x->0 (sin ax / ax) = 1. Jadi, kita bisa memanipulasi ekspresi tersebut: lim x->0 [ (sin 2x / 2x) * 2 ] * [ (sin 8x / 8x)^2 * 8^2 ] * [ (4x / sin 4x) * (1 / 4x) ].  Ini menjadi: lim x->0 [ 1 * 2 ] * [ 1^2 * 64 ] * [ 1 * (1 / 4x) ].  Ini belum benar karena masih ada x di penyebut. Mari kita kelompokkan ulang: lim x->0 (sin 2x / x) * (sin 8x / x) * (sin 8x / x) / (sin 4x / x) * (1/x). Ini juga tidak tepat.  Cara yang lebih baik adalah dengan memisahkan suku-suku yang sesuai dengan limit sin(ax)/x = a.  lim x->0 (sin 2x / x) * (sin 8x / x) * (sin 8x / x) / (sin 4x / x) * (1/x).  Mari kita perhatikan bagian-bagiannya:  lim x->0 (sin 2x / x) = 2. lim x->0 (sin 8x / x) = 8. lim x->0 (sin 4x / x) = 4.  Jadi, kita memiliki: lim x->0 (2) * (8) * (8) / (4) * (1/x). Ini masih salah.  Mari kita kelompokkan ulang dengan benar: lim x->0 [ (sin 2x) / x ] * [ (sin 8x) / x ] * [ (sin 8x) / x ] / [ (sin 4x) / x ].  Sekarang, kita perlu menyesuaikan penyebutnya agar sesuai dengan argumen sinus.  lim x->0 [ (sin 2x) / (2x) * 2 ] * [ (sin 8x) / (8x) * 8 ] * [ (sin 8x) / (8x) * 8 ] / [ (sin 4x) / (4x) * 4 ].  Saat x mendekati 0, setiap bagian (sin ax / ax) mendekati 1. Jadi, limitnya menjadi: [ 1 * 2 ] * [ 1 * 8 ] * [ 1 * 8 ] / [ 1 * 4 ].  Ini sama dengan 2 * 8 * 8 / 4 = 128 / 4 = 32.  Jadi, nilai limitnya adalah 32.