Sebanyak 7 pasang suami istri akan ditempatkan pada 14

3.628.800

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan permutasi siklik, yaitu menghitung banyaknya cara menyusun objek dalam formasi melingkar. Terdapat 7 pasang suami istri, yang berarti ada 7 pria dan 7 wanita. Total ada 14 orang.

Kondisi yang diberikan adalah mereka duduk berselang-seling antara pria dan wanita.

Langkah 1: Tentukan posisi untuk salah satu jenis kelamin (misalnya, pria).
Karena duduk melingkar, kita bisa menetapkan posisi satu orang terlebih dahulu untuk menghindari perhitungan ganda karena rotasi. Misalkan kita tempatkan salah satu pria di kursi mana saja. Ini memberikan 1 cara untuk posisi awal (karena semua kursi identik sebelum ada yang duduk).

Langkah 2: Atur posisi pria lainnya.
Setelah satu pria duduk, ada 6 pria yang tersisa. Karena mereka harus duduk berselang-seling dengan wanita, maka pria-pria ini akan menempati kursi-kursi yang dipisahkan oleh satu kursi kosong (yang akan diisi oleh wanita). Banyaknya cara mengatur 6 pria yang tersisa di 6 kursi yang tersedia (dengan mempertimbangkan posisi relatif satu sama lain dalam formasi melingkar) adalah (6-1)! = 5!.

Langkah 3: Atur posisi wanita.
Sekarang ada 7 kursi yang tersisa yang harus ditempati oleh 7 wanita. Karena posisi relatif pria sudah tetap, kursi-kursi untuk wanita sudah ditentukan letaknya. Banyaknya cara mengatur 7 wanita di 7 kursi tersebut adalah 7!.

Jadi, total banyaknya susunan tempat duduk adalah:
(Jumlah cara mengatur pria) * (Jumlah cara mengatur wanita)
= (1 * 5!) * 7!
= 5! * 7!
= (5 * 4 * 3 * 2 * 1) * (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
= 120 * 5040
= 604.800

Alternatif lain:
Jika kita menetapkan posisi pria terlebih dahulu secara melingkar, banyaknya cara adalah (7-1)! = 6!. Kemudian, untuk 7 wanita yang duduk di antara para pria, banyaknya cara adalah 7!. Jadi totalnya adalah 6! * 7!.

Mari kita perjelas kembali:
Pertama, atur 7 pria di kursi melingkar. Banyaknya cara mengatur n objek berbeda dalam lingkaran adalah (n-1)!. Jadi, banyaknya cara mengatur 7 pria adalah (7-1)! = 6!.
Kedua, sekarang ada 7 tempat di antara para pria yang harus diisi oleh 7 wanita. Karena tempat-tempat ini sudah spesifik (di sebelah kiri atau kanan pria tertentu), kita dapat menganggapnya sebagai susunan linear. Jadi, banyaknya cara mengatur 7 wanita di 7 tempat tersebut adalah 7!.

Maka, total banyaknya susunan adalah 6! * 7!.
6! = 720
7! = 5040
Total = 720 * 5040 = 3.628.800.

Namun, jika kita memulai dengan menempatkan satu orang (misalnya pria) di kursi mana saja, maka ada 14 tempat. Jika kita ingin berselang-seling, maka pria akan menempati kursi 1, 3, 5, ..., 13 dan wanita menempati kursi 2, 4, 6, ..., 14. Atau sebaliknya. 

Mari kita gunakan pendekatan yang lebih umum untuk permutasi melingkar dengan kondisi:
1. Pilih satu jenis kelamin untuk memulai, misalnya pria. Atur 7 pria dalam formasi melingkar. Banyaknya cara adalah (7-1)! = 6!.
2. Sekarang, tempatkan 7 wanita di antara 7 pria tersebut. Ada 7 celah di antara para pria. Karena mereka harus berselang-seling, setiap celah harus diisi oleh satu wanita. Banyaknya cara mengatur 7 wanita di 7 celah yang berbeda adalah 7!.

Jadi, total susunan adalah 6! * 7!.
6! = 720
7! = 5040
Total = 720 * 5040 = 3.628.800.