Sebatang tanaman dapat berproduksi maksimal apabila diberi

Biaya minimal untuk satu kali pemupukan adalah Rp2.000.000,00.

Pembahasan

Untuk menentukan biaya minimal pemupukan, kita perlu memodelkan masalah ini sebagai masalah program linear.

Definisikan variabel:
Misalkan P = jumlah bungkus pupuk P
Misalkan Q = jumlah bungkus pupuk Q

Batasan:
Setiap tanaman membutuhkan setidaknya 8 unit zat A, 12 unit zat B, dan 9 unit zat C. Petani memiliki 100 batang tanaman.

Kebutuhan zat per tanaman:
Zat A: 8 unit
Zat B: 12 unit
Zat C: 9 unit

Kandungan zat per bungkus pupuk:
Pupuk P: 2A, 6B, 3C
Pupuk Q: 1A, 1B, 1C

Total kebutuhan untuk 100 tanaman:
Zat A: 100 * 8 = 800 unit
Zat B: 100 * 12 = 1200 unit
Zat C: 100 * 9 = 900 unit

Formulasi batasan:
Untuk Zat A: 2P + Q ≥ 800
Untuk Zat B: 6P + Q ≥ 1200
Untuk Zat C: 3P + Q ≥ 900

Karena jumlah bungkus pupuk tidak boleh negatif:
P ≥ 0
Q ≥ 0

Fungsi Tujuan (meminimalkan biaya):
Biaya = 5000P + 4000Q

Kita perlu mencari nilai P dan Q yang memenuhi semua batasan dan meminimalkan fungsi biaya.

Kita dapat menggunakan metode grafik atau metode simpleks untuk menyelesaikannya. Mari kita coba analisis titik-titik sudut dari daerah yang layak.

Titik potong dari batasan:
1. 2P + Q = 800
2. 6P + Q = 1200
3. 3P + Q = 900

Dari (1) dan (2):
(6P + Q) - (2P + Q) = 1200 - 800
4P = 400
P = 100
Substitusikan P=100 ke (1): 2(100) + Q = 800 => 200 + Q = 800 => Q = 600
Titik (100, 600). Cek batasan 3: 3(100) + 600 = 300 + 600 = 900. Titik ini memenuhi semua batasan.
Biaya = 5000(100) + 4000(600) = 500000 + 2400000 = 2900000

Dari (1) dan (3):
(3P + Q) - (2P + Q) = 900 - 800
P = 100
Substitusikan P=100 ke (1): 2(100) + Q = 800 => Q = 600. Sama seperti sebelumnya.

Dari (2) dan (3):
(6P + Q) - (3P + Q) = 1200 - 900
3P = 300
P = 100
Substitusikan P=100 ke (3): 3(100) + Q = 900 => 300 + Q = 900 => Q = 600. Sama seperti sebelumnya.

Mari kita periksa titik potong dengan sumbu P (Q=0):
2P ≥ 800 => P ≥ 400
6P ≥ 1200 => P ≥ 200
3P ≥ 900 => P ≥ 300
Jadi, titik potong dengan sumbu P adalah P=400 (memenuhi semua).
Titik (400, 0). Biaya = 5000(400) + 4000(0) = 2000000.

Mari kita periksa titik potong dengan sumbu Q (P=0):
Q ≥ 800
Q ≥ 1200
Q ≥ 900
Jadi, titik potong dengan sumbu Q adalah Q=1200 (memenuhi semua).
Titik (0, 1200). Biaya = 5000(0) + 4000(1200) = 4800000.

Sekarang kita bandingkan biaya dari titik-titik sudut yang memenuhi batasan:
(100, 600) -> Biaya = 2.900.000
(400, 0) -> Biaya = 2.000.000
(0, 1200) -> Biaya = 4.800.000

Biaya minimal adalah Rp2.000.000,00 ketika P=400 dan Q=0.

Perlu dicek lagi, karena titik (400,0) harus memenuhi semua batasan:
Zat A: 2(400) + 0 = 800 ≥ 800 (OK)
Zat B: 6(400) + 0 = 2400 ≥ 1200 (OK)
Zat C: 3(400) + 0 = 1200 ≥ 900 (OK)

Jadi, biaya minimal untuk satu kali pemupukan adalah Rp2.000.000,00.