Sebuah industri rumah tangga memproduksi x buah kue dengan

a. 50 kue, b. Rp 24.200

Pembahasan

Untuk menentukan jumlah kue yang harus terjual agar mendapatkan keuntungan maksimum, kita perlu mencari titik puncak dari fungsi kuadrat yang merepresentasikan keuntungan.

Fungsi Biaya Total (TC) = 2x^2 - 200x + 1.000
Harga Jual per Kue (P) = 1.000 - 10x

Total Pendapatan (TR) = Harga Jual per Kue * Jumlah Kue
TR = (1.000 - 10x) * x
TR = 1.000x - 10x^2

Keuntungan (Profit) = Total Pendapatan (TR) - Biaya Total (TC)
Profit = (1.000x - 10x^2) - (2x^2 - 200x + 1.000)
Profit = 1.000x - 10x^2 - 2x^2 + 200x - 1.000
Profit = -12x^2 + 1.200x - 1.000

Fungsi keuntungan ini adalah fungsi kuadrat dengan bentuk umum ax^2 + bx + c, di mana a = -12, b = 1.200, dan c = -1.000. Karena koefisien x^2 (yaitu -12) negatif, parabola terbuka ke bawah, yang berarti memiliki nilai maksimum.

Nilai x (jumlah kue) yang memberikan keuntungan maksimum dapat ditemukan menggunakan rumus: x = -b / 2a
x = -1.200 / (2 * -12)
x = -1.200 / -24
x = 50

Jadi, industri rumah tangga tersebut harus menjual 50 buah kue agar mendapatkan keuntungan maksimum.

Untuk bagian b, jika kue yang terjual hanya 30 buah, kita hitung keuntungannya dengan memasukkan x = 30 ke dalam fungsi keuntungan:
Profit = -12(30)^2 + 1.200(30) - 1.000
Profit = -12(900) + 36.000 - 1.000
Profit = -10.800 + 36.000 - 1.000
Profit = 24.200

Jadi, jika kue yang terjual hanya 30 buah, keuntungan yang diperoleh adalah Rp 24.200.