Sebuah kapal berlayar sejauh 80 km dengan jurusan 65,

Jarak: 116.7 km, Jurusan: 302.57 derajat

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan aturan cosinus dan sinus dalam navigasi. 

Langkah 1: Analisis pergerakan kapal.
Kapal bergerak 80 km dengan jurusan 65 derajat, lalu 100 km dengan jurusan 165 derajat. Sudut antara kedua arah perjalanan adalah 165 - 65 = 100 derajat.

Langkah 2: Tentukan jarak kembali ke tempat semula.
Kita bisa menggunakan aturan cosinus untuk mencari jarak antara titik awal dan titik akhir setelah dua kali pelayaran. Misalkan jarak ini adalah 'c'. Sisi-sisi segitiga adalah 80 km dan 100 km, dengan sudut di antaranya adalah 100 derajat.
c^2 = 80^2 + 100^2 - 2 * 80 * 100 * cos(100)
c^2 = 6400 + 10000 - 16000 * (-0.1736)
c^2 = 16400 + 2777.6
c^2 = 19177.6
c = sqrt(19177.6) ≈ 138.48 km

Langkah 3: Tentukan jurusan kembali ke tempat semula.
Kita perlu mencari sudut dalam segitiga menggunakan aturan sinus. Misalkan sudut di depan sisi 100 km adalah alpha.
sin(alpha) / 100 = sin(100) / 138.48
sin(alpha) = (100 * sin(100)) / 138.48
sin(alpha) = (100 * 0.9848) / 138.48
sin(alpha) = 98.48 / 138.48 ≈ 0.7111
alpha = arcsin(0.7111) ≈ 45.32 derajat.

Jurusan kapal dari titik akhir ke titik awal adalah 180 derajat + (65 derajat + alpha). Namun, perlu diperhatikan arah relatifnya. Cara yang lebih mudah adalah dengan menggambar vektor. 
Sudut jurusan 65 derajat berarti sudut terhadap utara. Sudut jurusan 165 derajat berarti sudut terhadap utara.
Jika kita membuat segitiga dengan titik awal O, titik setelah pelayaran pertama A, dan titik akhir B. Maka OA = 80, jurusan 65. AB = 100, jurusan 165. Kita mencari OB dan jurusan dari B ke O.
Sudut di A dalam segitiga OAB adalah 180 - (165 - 65) = 180 - 100 = 80 derajat (sudut dalam bersebelahan dengan sudut arah luar).
Gunakan aturan cosinus: OB^2 = OA^2 + AB^2 - 2*OA*AB*cos(80) = 80^2 + 100^2 - 2*80*100*cos(80) = 6400 + 10000 - 16000 * 0.1736 = 16400 - 2777.6 = 13622.4. OB = sqrt(13622.4) ≈ 116.7 km.

Sekarang cari jurusan dari B ke O. Gunakan aturan sinus untuk mencari sudut OAB (misal x).
sin(x)/AB = sin(80)/OB
sin(x)/100 = sin(80)/116.7
sin(x) = (100 * sin(80)) / 116.7 = (100 * 0.9848) / 116.7 = 98.48 / 116.7 ≈ 0.8439
x = arcsin(0.8439) ≈ 57.57 derajat.

Jurusan dari O ke A adalah 65 derajat. Jurusan dari B ke O adalah jurusan dari B ke O. Sudut OBA = 180 - 80 - x = 180 - 80 - 57.57 = 42.43 derajat. Jurusan dari B ke O adalah jurusan dari B ke A + sudut OBA. Jurusan dari B ke A adalah 165 + 180 = 345 derajat. Jurusan B ke O = 345 - 42.43 = 302.57 derajat. Atau, dari titik B, utara adalah garis vertikal ke atas. Sudut OBA adalah 42.43 derajat. Jurusan O ke B adalah 65 + (180-80) = 165 derajat? Tidak.

Mari kita perjelas dengan gambar:
Titik A (awal). Kapal berlayar ke B (80 km, jurusan 65). Dari B, kapal berlayar ke C (100 km, jurusan 165). Kita perlu kembali dari C ke A.

Sudut antara arah utara di B dan arah BC adalah 165 derajat.
Sudut antara arah utara di B dan arah BA adalah 65 + 180 = 245 derajat, atau 360 - 245 = 115 derajat berlawanan arah jarum jam. Atau, kita bisa gunakan sudut dalam. Jurusan 65 berarti sudut 65 dari utara. Jurusan 165 berarti sudut 165 dari utara. Sudut antara garis AB dan garis utara di B adalah 180 - 65 = 115 derajat (sudut luar). Sudut antara garis BC dan garis utara di B adalah 165 derajat. Sudut ABC = 360 - (115 + 165) = 360 - 280 = 80 derajat. Ini adalah sudut dalam segitiga ABC.

Kita cari panjang AC menggunakan aturan cosinus:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(sudut ABC)
AC^2 = 80^2 + 100^2 - 2 * 80 * 100 * cos(80)
AC^2 = 6400 + 10000 - 16000 * 0.1736
AC^2 = 16400 - 2777.6 = 13622.4
AC = sqrt(13622.4) ≈ 116.7 km.

Sekarang cari jurusan dari C ke A. Gunakan aturan sinus untuk mencari sudut BAC (misal x).
sin(x) / BC = sin(sudut ABC) / AC
sin(x) / 100 = sin(80) / 116.7
sin(x) = (100 * sin(80)) / 116.7 = (100 * 0.9848) / 116.7 ≈ 0.8439
x = arcsin(0.8439) ≈ 57.57 derajat.

Jurusan dari A ke C adalah 65 derajat + x = 65 + 57.57 = 122.57 derajat.
Untuk mencari jurusan dari C ke A, kita perlu mencari sudut di C. Gunakan aturan sinus untuk mencari sudut BCA (misal y).
sin(y) / AB = sin(sudut ABC) / AC
sin(y) / 80 = sin(80) / 116.7
sin(y) = (80 * sin(80)) / 116.7 = (80 * 0.9848) / 116.7 ≈ 0.6746
y = arcsin(0.6746) ≈ 42.43 derajat.

Sudut ACB = 180 - sudut ABC - sudut BAC = 180 - 80 - 57.57 = 42.43 derajat.

Jurusan dari C ke A. Dari titik C, kita perlu memperpanjang garis utara. Jurusan dari A ke B adalah 65. Jurusan dari C ke B adalah 165 + 180 = 345 derajat (arah berlawanan). Sudut ACB = 42.43 derajat. 
Jurusan dari C ke A adalah jurusan dari C ke B dikurangi sudut ACB (jika arahnya searah jarum jam) atau ditambah (jika berlawanan). 
Ini rumit. Cara paling mudah: Jurusan dari A ke C adalah 122.57 derajat. Maka jurusan dari C ke A adalah 122.57 + 180 = 302.57 derajat.

Jadi, jarak yang harus ditempuh adalah 116.7 km dengan jurusan 302.57 derajat.