Sebuah lahan pertanian terserang hama tikus. Banyaknya

7 tahun

Pembahasan

Untuk menentukan waktu yang diperlukan agar populasi tikus sama dengan nol, kita perlu mencari akar-akar dari fungsi populasi tikus f(t) = 2t^3 - 4t^2 - 62t - 56.

Kita perlu menyelesaikan persamaan:
2t^3 - 4t^2 - 62t - 56 = 0

Kita bisa menyederhanakan persamaan dengan membagi seluruh suku dengan 2:
t^3 - 2t^2 - 31t - 28 = 0

Untuk mencari akar-akar persamaan kubik ini, kita bisa mencoba menggunakan metode faktorisasi atau teorema akar rasional. Dengan mencoba beberapa nilai bulat yang merupakan faktor dari konstanta -28 (seperti ±1, ±2, ±4, ±7, ±14, ±28), kita menemukan bahwa t = -4 adalah salah satu akarnya:
(-4)^3 - 2(-4)^2 - 31(-4) - 28
= -64 - 2(16) + 124 - 28
= -64 - 32 + 124 - 28
= -96 + 124 - 28
= 28 - 28 = 0

Karena t = -4 adalah akar, maka (t + 4) adalah faktor dari polinomial tersebut. Kita bisa melakukan pembagian polinomial atau sintetik untuk mencari faktor lainnya:

(t^3 - 2t^2 - 31t - 28) ÷ (t + 4) = t^2 - 6t - 7

Sekarang kita perlu mencari akar dari persamaan kuadrat t^2 - 6t - 7 = 0.
Kita bisa memfaktorkannya:
(t - 7)(t + 1) = 0

Ini memberikan dua akar lagi: t = 7 dan t = -1.

Jadi, akar-akar dari fungsi f(t) adalah t = -4, t = -1, dan t = 7.

Karena 't' mewakili waktu dalam tahun, nilai waktu harus positif. Oleh karena itu, satu-satunya solusi yang masuk akal secara fisik adalah t = 7.

Jadi, waktu yang diperlukan agar populasi tikus sama dengan nol adalah 7 tahun.