Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan

Persamaan kurva adalah \(f(x) = x^4 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{3}\).

Pembahasan

Kita diminta untuk menentukan persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan mempunyai fungsi turunan \(f'(x) = 4x^2(x + 1)\). Pertama, kita perlu mencari fungsi asli \(f(x)\) dengan mengintegralkan fungsi turunannya.
Buka kurung pada fungsi turunan: \(f'(x) = 4x^3 + 4x^2\).
Sekarang, integralkan \(f'(x)\) terhadap \(x\):
\[f(x) = \int (4x^3 + 4x^2) dx\]
Menggunakan aturan pangkat untuk integral, \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\):
\[f(x) = 4 \int x^3 dx + 4 \int x^2 dx\]
\[f(x) = 4 \left(\frac{x^{3+1}}{3+1}\right) + 4 \left(\frac{x^{2+1}}{2+1}\right) + C\]
\[f(x) = 4 \left(\frac{x^4}{4}\right) + 4 \left(\frac{x^3}{3}\right) + C\]
\[f(x) = x^4 + \frac{4}{3}x^3 + C\]
Di sini, C adalah konstanta integrasi. Kita dapat menemukan nilai C dengan menggunakan informasi bahwa kurva melalui titik (1, 2). Ini berarti ketika \(x = 1\), \(f(x) = 2\).
Substitusikan nilai \(x = 1\) dan \(f(x) = 2\) ke dalam persamaan \(f(x)\):
\[2 = (1)^4 + \frac{4}{3}(1)^3 + C\]
\[2 = 1 + \frac{4}{3} + C\]
Untuk mencari C, kita pindahkan konstanta ke sisi kiri:
\[C = 2 - 1 - \frac{4}{3}\]
\[C = 1 - \frac{4}{3}\]
Untuk mengurangkan pecahan, samakan penyebutnya:
\[C = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}\]
\[C = -\frac{1}{3}\]
Jadi, persamaan kurva yang dicari adalah:
\[f(x) = x^4 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{3}\]