Sebuah pabrik mempekerjakan 35% karyawan untuk melakukan

Probabilitas karyawan lembur dapat dihitung menggunakan distribusi binomial. Untuk n=70 dan p=0,35: a. P(X=3) ≈ 3.76 x 10^-9. b. P(X ≥ 4) ≈ 1. c. P(X < 4) ≈ 0.

Pembahasan

Untuk menentukan probabilitas karyawan yang lembur dari sampel 70 orang, kita dapat menggunakan distribusi binomial karena ada dua hasil yang mungkin untuk setiap karyawan (lembur atau tidak lembur), dan probabilitasnya konstan. Diketahui probabilitas seorang karyawan lembur adalah 35% atau 0,35.

a. Probabilitas tepat 3 karyawan lembur:
Kita gunakan rumus binomial P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), dengan n=70, k=3, p=0,35.
P(X=3) = C(70, 3) * (0,35)^3 * (1-0,35)^(70-3)
P(X=3) = (70! / (3! * 67!)) * (0,35)^3 * (0,65)^67
P(X=3) = 65450 * 0,042875 * (sekitar 1.5 x 10^-12)
P(X=3) ≈ 3.76 x 10^-9

b. Probabilitas paling sedikit 4 karyawan lembur:
Ini berarti P(X ≥ 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)]. Menghitung P(X=0), P(X=1), P(X=2) dan P(X=3) secara manual sangat kompleks karena nilai n yang besar. Namun, kita bisa memperkirakannya menggunakan pendekatan normal jika np > 5 dan n(1-p) > 5. Di sini np = 70 * 0,35 = 24,5 dan n(1-p) = 70 * 0,65 = 45,5. Kedua nilai ini lebih besar dari 5, sehingga pendekatan normal bisa digunakan. Dengan rata-rata (μ) = np = 24,5 dan standar deviasi (σ) = sqrt(np(1-p)) = sqrt(24,5 * 0,65) ≈ sqrt(15.925) ≈ 3,99. Untuk P(X ≥ 4), kita gunakan koreksi kontinuitas P(X ≥ 3.5). Nilai z = (3.5 - 24.5) / 3.99 ≈ -5.26. Probabilitas P(Z ≥ -5.26) sangat mendekati 1.

c. Probabilitas kurang dari 4 karyawan lembur:
Ini berarti P(X < 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3). Menggunakan pendekatan normal dengan koreksi kontinuitas P(X ≤ 3.5). Nilai z = (3.5 - 24.5) / 3.99 ≈ -5.26. Probabilitas P(Z ≤ -5.26) sangat mendekati 0.