Sebuah partikel bergerak meninggalkan titik asal setelah

a. \(20 + \frac{\pi}{4}\) m/detik, b. \(\frac{1}{2}\) m/detik\(^2\)

Pembahasan

Untuk menentukan kecepatan dan percepatan partikel, kita perlu mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi jarak \(S(t)\). Fungsi jarak yang diberikan adalah \(S(t) = 5 \sin 4t + \cos^2 t + \frac{1}{4}t^2 + 6\) meter.

a. Kecepatan (v(t)) adalah turunan pertama dari jarak terhadap waktu, \(v(t) = S'(t)\). Mengambil turunan dari setiap suku:
\(S'(t) = \frac{d}{dt}(5 \sin 4t) + \frac{d}{dt}(\cos^2 t) + \frac{d}{dt}(\frac{1}{4}t^2) + \frac{d}{dt}(6)\)
\(S'(t) = 5(4\cos 4t) + 2\cos t(-\sin t) + \frac{1}{4}(2t) + 0\)
\(S'(t) = 20\cos 4t - 2\sin t \cos t + \frac{1}{2}t\)
Menggunakan identitas \(\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta\), kita dapat menyederhanakan suku kedua menjadi \(-\sin 2t\).
Jadi, \(v(t) = 20\cos 4t - \sin 2t + \frac{1}{2}t\).
Untuk mencari kecepatan pada saat \(t = \frac{\pi}{2}\) detik, kita substitusikan \(t = \frac{\pi}{2}\) ke dalam \(v(t)\):
\(v(\frac{\pi}{2}) = 20\cos(4 \times \frac{\pi}{2}) - \sin(2 \times \frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2})\)
\(v(\frac{\pi}{2}) = 20\cos(2\pi) - \sin(\pi) + \frac{\pi}{4}\)
Karena \(\cos(2\pi) = 1\) dan \(\sin(\pi) = 0\), maka:
\(v(\frac{\pi}{2}) = 20(1) - 0 + \frac{\pi}{4} = 20 + \frac{\pi}{4}\) m/detik.

b. Percepatan (a(t)) adalah turunan pertama dari kecepatan terhadap waktu, atau turunan kedua dari jarak terhadap waktu, \(a(t) = v'(t) = S''(t)\). Mengambil turunan dari \(v(t) = 20\cos 4t - \sin 2t + \frac{1}{2}t\):
\(v'(t) = \frac{d}{dt}(20\cos 4t) - \frac{d}{dt}(\sin 2t) + \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}t)\)
\(v'(t) = 20(-4\sin 4t) - (2\cos 2t) + \frac{1}{2}\)
\(a(t) = -80\sin 4t - 2\cos 2t + \frac{1}{2}\).
Untuk mencari percepatan pada saat \(t = \frac{\pi}{4}\) detik, kita substitusikan \(t = \frac{\pi}{4}\) ke dalam \(a(t)\):
\(a(\frac{\pi}{4}) = -80\sin(4 \times \frac{\pi}{4}) - 2\cos(2 \times \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2}\)
\(a(\frac{\pi}{4}) = -80\sin(\pi) - 2\cos(\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2}\)
Karena \(\sin(\pi) = 0\) dan \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\), maka:
\(a(\frac{\pi}{4}) = -80(0) - 2(0) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) m/detik\(^2\).

Jadi, a. kecepatan partikel pada saat \(t = \frac{\pi}{2}\) detik adalah \(20 + \frac{\pi}{4}\) m/detik, dan b. percepatan partikel pada saat \(t = \frac{\pi}{4}\) detik adalah \(\frac{1}{2}\) m/detik\(^2\).