Sebuah perusahaan membuat dua mainan jenis A dan B. Laba

Untuk keuntungan maksimum, perusahaan harus membuat 8 mainan jenis A dan 2 mainan jenis B, dengan keuntungan maksimum Rp280.000.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan program linear. Misalkan x adalah jumlah mainan jenis A dan y adalah jumlah mainan jenis B.

Fungsi tujuan (keuntungan maksimum) adalah Z = 30000x + 20000y.

Kendala yang ada adalah:
Processing: 6x + 3y <= 54
Assembly: 4x + 6y <= 48
Packaging: 5x + 5y <= 50

Kita perlu mencari nilai x dan y yang memenuhi kendala tersebut dan memaksimalkan Z.

Dari kendala packaging, kita dapat menyederhanakannya menjadi x + y <= 10.

Mari kita cari titik potong dari kendala-kendala tersebut:
1. Potongan processing dan assembly:
   6x + 3y = 54  => 2x + y = 18
   4x + 6y = 48  => 2x + 3y = 24
   Dengan mengurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua: (2x + 3y) - (2x + y) = 24 - 18 => 2y = 6 => y = 3.
   Substitusikan y = 3 ke 2x + y = 18 => 2x + 3 = 18 => 2x = 15 => x = 7.5.
   Titik potong (7.5, 3).

2. Potongan processing dan x + y = 10:
   6x + 3y = 54 => 2x + y = 18
   x + y = 10
   Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama: (2x + y) - (x + y) = 18 - 10 => x = 8.
   Substitusikan x = 8 ke x + y = 10 => 8 + y = 10 => y = 2.
   Titik potong (8, 2).

3. Potongan assembly dan x + y = 10:
   4x + 6y = 48 => 2x + 3y = 24
   x + y = 10 => 2x + 2y = 20
   Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama: (2x + 3y) - (2x + 2y) = 24 - 20 => y = 4.
   Substitusikan y = 4 ke x + y = 10 => x + 4 = 10 => x = 6.
   Titik potong (6, 4).

Kita juga perlu mempertimbangkan titik potong sumbu dengan kendala x + y <= 10:
- Jika x = 0, y = 10
- Jika y = 0, x = 10

Sekarang kita evaluasi fungsi tujuan Z = 30000x + 20000y pada titik-titik sudut yang layak:
- (0, 0): Z = 0
- (0, 8): Z = 30000(0) + 20000(8) = 160000 (tidak layak karena 2x+3y = 24 tidak terpenuhi)
- (10, 0): Z = 30000(10) + 20000(0) = 300000 (tidak layak karena 6x+3y = 60 > 54)
- Titik potong (7.5, 3): tidak layak karena jumlah mainan harus bilangan bulat.
- Titik potong (8, 2): Z = 30000(8) + 20000(2) = 240000 + 40000 = 280000.
  Cek kelayakan: Processing: 6(8)+3(2) = 48+6 = 54 (OK). Assembly: 4(8)+6(2) = 32+12 = 44 (OK). Packaging: 5(8)+5(2) = 40+10 = 50 (OK).
- Titik potong (6, 4): Z = 30000(6) + 20000(4) = 180000 + 80000 = 260000.
  Cek kelayakan: Processing: 6(6)+3(4) = 36+12 = 48 (OK). Assembly: 4(6)+6(4) = 24+24 = 48 (OK). Packaging: 5(6)+5(4) = 30+20 = 50 (OK).

Karena kita mencari keuntungan maksimum, maka perusahaan harus membuat 8 mainan jenis A dan 2 mainan jenis B untuk mendapatkan keuntungan maksimum sebesar Rp280.000.