Sebuah polinom berderajat 3 jika dibagi (x^2-x-6) bersisa

Polinom tersebut adalah x^3 - 2x^2 + 4.

Pembahasan

Misalkan polinom tersebut adalah P(x). Diketahui bahwa:
P(x) = (x^2-x-6) Q1(x) + (5x-2)
P(x) = (x^2-2x-3) Q2(x) + (3x+4)
Faktorkan pembagi:
x^2-x-6 = (x-3)(x+2)
x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)
Dari pembagi pertama, kita tahu:
P(3) = (3^2-3-6)Q1(3) + (5(3)-2) = 0*Q1(3) + 15-2 = 13
P(-2) = ((-2)^2-(-2)-6)Q1(-2) + (5(-2)-2) = 0*Q1(-2) -10-2 = -12
Dari pembagi kedua, kita tahu:
P(3) = (3^2-2(3)-3)Q2(3) + (3(3)+4) = 0*Q2(3) + 9+4 = 13
P(-1) = ((-1)^2-2(-1)-3)Q2(-1) + (3(-1)+4) = 0*Q2(-1) -3+4 = 1
Karena P(3) memberikan hasil yang sama (13) dari kedua pembagi, ini konsisten. Sekarang kita memiliki P(-2)=13 dan P(-1)=1.
Karena P(x) berderajat 3, kita bisa menulisnya sebagai P(x) = (x-3)(x+2)(x+1) A + Bx^2 + Cx + D. Namun, cara yang lebih efisien adalah menggunakan informasi yang kita miliki.
Mari kita asumsikan sisa ketika P(x) dibagi oleh (x-3)(x+2)(x+1) adalah Ax^2+Bx+C. Kita punya:
P(3) = 9A + 3B + C = 13
P(-2) = 4A - 2B + C = -12
P(-1) = A - B + C = 1
Kurangkan persamaan ketiga dari kedua: 
(4A - 2B + C) - (A - B + C) = -12 - 1  => 3A - B = -13 (Persamaan 1)
(9A + 3B + C) - (A - B + C) = 13 - 1 => 8A + 4B = 12 => 2A + B = 3 (Persamaan 2)
Tambahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2:
(3A - B) + (2A + B) = -13 + 3
5A = -10 => A = -2
Substitusikan A = -2 ke Persamaan 2:
2(-2) + B = 3
-4 + B = 3 => B = 7
Substitusikan A = -2 dan B = 7 ke persamaan P(-1):
A - B + C = 1
-2 - 7 + C = 1
-9 + C = 1 => C = 10
Jadi, sisa pembagian oleh (x-3)(x+2)(x+1) adalah -2x^2 + 7x + 10.
Polinom P(x) dapat ditulis sebagai P(x) = (x-3)(x+2)(x+1) * 1 + (-2x^2 + 7x + 10). Kita ambil konstanta 1 karena derajat polinom adalah 3. P(x) = (x^2-x-6)(x+1) -2x^2+7x+10 = x^3+x^2-x^2-x-6x-6 -2x^2+7x+10 = x^3 -2x^2 + 4.
Verifikasi:
P(3) = 3^3 - 2(3^2) + 4 = 27 - 18 + 4 = 13. (Cocok)
P(-2) = (-2)^3 - 2(-2)^2 + 4 = -8 - 8 + 4 = -12. (Cocok)
P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + 4 = -1 - 2 + 4 = 1. (Cocok)
Jadi, polinomnya adalah x^3 - 2x^2 + 4.