Kelas 12Kelas 11Kelas 10mathAljabar
Sebuah polinom berderajat 3 jika dibagi (x^2-x-6) bersisa
Pertanyaan
Sebuah polinom berderajat 3 jika dibagi (x^2-x-6) bersisa (5x-2), dan jika dibagi (x^2-2x-3) bersisa (3x+4). Tentukan polinom tersebut.
Solusi
Verified
Polinom tersebut adalah x^3 - 2x^2 + 4.
Pembahasan
Misalkan polinom tersebut adalah P(x). Diketahui bahwa: P(x) = (x^2-x-6) Q1(x) + (5x-2) P(x) = (x^2-2x-3) Q2(x) + (3x+4) Faktorkan pembagi: x^2-x-6 = (x-3)(x+2) x^2-2x-3 = (x-3)(x+1) Dari pembagi pertama, kita tahu: P(3) = (3^2-3-6)Q1(3) + (5(3)-2) = 0*Q1(3) + 15-2 = 13 P(-2) = ((-2)^2-(-2)-6)Q1(-2) + (5(-2)-2) = 0*Q1(-2) -10-2 = -12 Dari pembagi kedua, kita tahu: P(3) = (3^2-2(3)-3)Q2(3) + (3(3)+4) = 0*Q2(3) + 9+4 = 13 P(-1) = ((-1)^2-2(-1)-3)Q2(-1) + (3(-1)+4) = 0*Q2(-1) -3+4 = 1 Karena P(3) memberikan hasil yang sama (13) dari kedua pembagi, ini konsisten. Sekarang kita memiliki P(-2)=13 dan P(-1)=1. Karena P(x) berderajat 3, kita bisa menulisnya sebagai P(x) = (x-3)(x+2)(x+1) A + Bx^2 + Cx + D. Namun, cara yang lebih efisien adalah menggunakan informasi yang kita miliki. Mari kita asumsikan sisa ketika P(x) dibagi oleh (x-3)(x+2)(x+1) adalah Ax^2+Bx+C. Kita punya: P(3) = 9A + 3B + C = 13 P(-2) = 4A - 2B + C = -12 P(-1) = A - B + C = 1 Kurangkan persamaan ketiga dari kedua: (4A - 2B + C) - (A - B + C) = -12 - 1 => 3A - B = -13 (Persamaan 1) (9A + 3B + C) - (A - B + C) = 13 - 1 => 8A + 4B = 12 => 2A + B = 3 (Persamaan 2) Tambahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2: (3A - B) + (2A + B) = -13 + 3 5A = -10 => A = -2 Substitusikan A = -2 ke Persamaan 2: 2(-2) + B = 3 -4 + B = 3 => B = 7 Substitusikan A = -2 dan B = 7 ke persamaan P(-1): A - B + C = 1 -2 - 7 + C = 1 -9 + C = 1 => C = 10 Jadi, sisa pembagian oleh (x-3)(x+2)(x+1) adalah -2x^2 + 7x + 10. Polinom P(x) dapat ditulis sebagai P(x) = (x-3)(x+2)(x+1) * 1 + (-2x^2 + 7x + 10). Kita ambil konstanta 1 karena derajat polinom adalah 3. P(x) = (x^2-x-6)(x+1) -2x^2+7x+10 = x^3+x^2-x^2-x-6x-6 -2x^2+7x+10 = x^3 -2x^2 + 4. Verifikasi: P(3) = 3^3 - 2(3^2) + 4 = 27 - 18 + 4 = 13. (Cocok) P(-2) = (-2)^3 - 2(-2)^2 + 4 = -8 - 8 + 4 = -12. (Cocok) P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + 4 = -1 - 2 + 4 = 1. (Cocok) Jadi, polinomnya adalah x^3 - 2x^2 + 4.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Teorema Sisa Dan Faktor
Section: Polinom
Apakah jawaban ini membantu?