Sebuah segitiga siku-siku dibentuk dengan menggunakan ruas

Volume benda putar yang terbentuk adalah 4π satuan kubik.

Pembahasan

Untuk menentukan volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu-Y, kita perlu mengidentifikasi batas-batas integrasi dan fungsi yang relevan.

1.  **Identifikasi Batas Integrasi:**
    Daerah yang diarsir dibatasi oleh sumbu-Y (x=0) dan perpotongan garis 3x + 2y = 6 dengan sumbu-Y. Untuk mencari perpotongan dengan sumbu-Y, kita atur x=0: 3(0) + 2y = 6 => 2y = 6 => y = 3. Jadi, batas integrasi pada sumbu-Y adalah dari y=0 hingga y=3.

2.  **Ekspresikan x dalam bentuk y:**
    Karena rotasi mengelilingi sumbu-Y, kita perlu mengekspresikan x dalam bentuk y dari persamaan garis 3x + 2y = 6.
    3x = 6 - 2y
    x = (6 - 2y) / 3
    x = 2 - (2/3)y

3.  **Gunakan Rumus Volume Benda Putar (Metode Cakram/Cincin):**
    Volume benda putar yang dihasilkan dari rotasi daerah di sekitar sumbu-Y diberikan oleh integral:
V = π ∫[a, b] (x(y))^2 dy
    dengan batas integrasi dari y=0 hingga y=3.

4.  **Hitung Integral:**
V = π ∫[0, 3] (2 - (2/3)y)^2 dy
V = π ∫[0, 3] (4 - (8/3)y + (4/9)y^2) dy

    Sekarang, kita integralkan setiap suku terhadap y:
V = π [4y - (8/3)(y^2/2) + (4/9)(y^3/3)] | dari 0 hingga 3
V = π [4y - (4/3)y^2 + (4/27)y^3] | dari 0 hingga 3

    Substitusikan batas atas (y=3) dan batas bawah (y=0):
V = π [(4(3) - (4/3)(3)^2 + (4/27)(3)^3) - (4(0) - (4/3)(0)^2 + (4/27)(0)^3)]
V = π [(12 - (4/3)(9) + (4/27)(27)) - (0)]
V = π [12 - 12 + 4]
V = π [4]
V = 4π

Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah 4π satuan kubik.