Nilai maksimum dan minimum fungsi f(x)=cos 2x+2 sin x

Maksimum: 3/2, Minimum: -3

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = cos(2x) + 2sin(x), kita perlu menggunakan turunan pertama untuk mencari titik kritis.

Langkah 1: Ubah cos(2x) menjadi bentuk yang melibatkan sin(x).
Kita tahu bahwa cos(2x) = 1 - 2sin^2(x).
Jadi, f(x) = 1 - 2sin^2(x) + 2sin(x).

Langkah 2: Cari turunan pertama f'(x).
Misalkan u = sin(x), maka f(x) = 1 - 2u^2 + 2u.
f'(x) = d/dx (1 - 2sin^2(x) + 2sin(x))
f'(x) = 0 - 2 * 2sin(x)cos(x) + 2cos(x)
f'(x) = -4sin(x)cos(x) + 2cos(x)

Langkah 3: Cari titik kritis dengan menyamakan f'(x) = 0.
-4sin(x)cos(x) + 2cos(x) = 0
2cos(x) (-2sin(x) + 1) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan:
1) 2cos(x) = 0 => cos(x) = 0. Nilai x yang memenuhi adalah x = pi/2, 3pi/2 (dalam interval [0, 2pi)).
2) -2sin(x) + 1 = 0 => sin(x) = 1/2. Nilai x yang memenuhi adalah x = pi/6, 5pi/6 (dalam interval [0, 2pi)).

Langkah 4: Evaluasi f(x) pada titik-titik kritis dan batas interval (jika ada, namun di sini kita mencari nilai maksimum/minimum global).

Untuk x = pi/2:
f(pi/2) = cos(2 * pi/2) + 2sin(pi/2) = cos(pi) + 2(1) = -1 + 2 = 1.

Untuk x = 3pi/2:
f(3pi/2) = cos(2 * 3pi/2) + 2sin(3pi/2) = cos(3pi) + 2(-1) = -1 - 2 = -3.

Untuk x = pi/6:
f(pi/6) = cos(2 * pi/6) + 2sin(pi/6) = cos(pi/3) + 2(1/2) = 1/2 + 1 = 3/2.

Untuk x = 5pi/6:
f(5pi/6) = cos(2 * 5pi/6) + 2sin(5pi/6) = cos(5pi/3) + 2(1/2) = 1/2 + 1 = 3/2.

Bandingkan nilai-nilai yang diperoleh: 1, -3, 3/2, 3/2.
Nilai maksimum adalah 3/2.
Nilai minimum adalah -3.

Jadi, nilai maksimum dan minimum fungsi f(x)=cos 2x+2 sin x berturut-turut adalah 3/2 dan -3.