Kelas 12Kelas 11Kelas 10mathProgram LinearAritmatika Sosial
Sebuah toko roti menjual dua jenis kue, kue kukus dan kue
Pertanyaan
Sebuah toko roti menjual dua jenis kue, kue kukus dan kue lapis. Harga kue kukus Rp1.500,00 per potong, sedangkan harga kue lapis Rp1.200,00 per potong. Banyak kue kukus yang terjual setiap hari tidak lebih dari 50 potong. Banyak kue lapis yang terjual setiap hari tidak kurang dari 30 potong. Kue kukus dan kue lapis yang dijual setiap hari 100 potong. Berapakah pendapatan minimum toko roti dari penjualan kue kukus dan kue lapis per hari rata-rata?
Solusi
Verified
Pendapatan minimum toko roti adalah Rp120.000,00.
Pembahasan
Untuk menentukan pendapatan minimum toko roti, kita dapat menggunakan konsep program linear. Misalkan: Jumlah kue kukus yang terjual = x Jumlah kue lapis yang terjual = y Fungsi tujuan (pendapatan) adalah: Z = 1500x + 1200y Kendala: 1. Banyak kue kukus yang terjual tidak lebih dari 50 potong: x <= 50 2. Banyak kue lapis yang terjual tidak kurang dari 30 potong: y >= 30 3. Kue kukus dan kue lapis yang dijual setiap hari adalah 100 potong: x + y = 100 4. Non-negatif: x >= 0, y >= 0 Dari kendala ke-3, kita dapat menyatakan x dalam bentuk y (atau sebaliknya): x = 100 - y Substitusikan ke kendala ke-1: 100 - y <= 50 -y <= 50 - 100 -y <= -50 y >= 50 Jadi, kita memiliki kendala baru untuk y: y >= 50 Kita juga memiliki kendala y >= 30. Menggabungkan kedua kendala ini, kita mendapatkan y >= 50. Sekarang kita substitusikan x = 100 - y ke dalam fungsi tujuan: Z = 1500(100 - y) + 1200y Z = 150000 - 1500y + 1200y Z = 150000 - 300y Untuk mencari pendapatan minimum, kita perlu mencari nilai y terbesar yang memenuhi kendala. Kendala untuk y adalah y >= 50. Namun, kita perlu memeriksa lagi kendala x. Jika y >= 50, maka x = 100 - y <= 100 - 50 = 50. Ini konsisten dengan kendala x <= 50. Untuk meminimalkan Z = 150000 - 300y, kita perlu memaksimalkan nilai y. Namun, tidak ada batasan atas untuk y selain dari x + y = 100 dan x >= 0, yang berarti y <= 100. Mari kita evaluasi fungsi tujuan pada batas-batas yang memungkinkan: Karena y >= 50 dan y <= 100 (dari x>=0), maka nilai y yang mungkin adalah dari 50 hingga 100. Untuk mendapatkan pendapatan minimum, kita perlu mencari nilai y yang membuat Z terkecil. Z = 150000 - 300y. Agar Z minimum, nilai 300y harus maksimum, yang berarti y harus maksimum. Nilai y maksimum adalah 100 (ketika x = 0). Z_min = 150000 - 300 * 100 = 150000 - 30000 = 120000. Namun, mari kita periksa ulang pertanyaannya. Pendapatan minimum toko roti dari penjualan kue kukus dan kue lapis per hari rata-rata... Mari kita periksa nilai Z pada batas bawah y, yaitu y=50: Jika y = 50, maka x = 100 - 50 = 50. Z = 1500(50) + 1200(50) = 75000 + 60000 = 135000. Mari kita periksa nilai Z pada batas atas y, yaitu y=100 (dan x=0): Jika y = 100, maka x = 100 - 100 = 0. Z = 1500(0) + 1200(100) = 0 + 120000 = 120000. Nilai minimum terjadi ketika y=100 (x=0), yang memberikan pendapatan Rp120.000,00. Namun, ini mengasumsikan bahwa kue kukus tidak harus terjual sama sekali. Mari kita perhatikan kembali kendala: x <= 50 y >= 30 x + y = 100 x >= 0, y >= 0 Dari x + y = 100: Jika x = 50, maka y = 50. Jika y = 30, maka x = 70. Ini melanggar x <= 50. Jadi, kita perlu y >= 50 (dari kendala x <= 50). Jadi, rentang yang valid adalah: 50 <= y <= 100 (karena x >= 0) Dan kita juga perlu memenuhi y >= 30, yang sudah tercakup oleh y >= 50. Fungsi pendapatan: Z = 1500x + 1200y Substitusi x = 100 - y: Z = 1500(100 - y) + 1200y Z = 150000 - 1500y + 1200y Z = 150000 - 300y Untuk meminimalkan Z, kita perlu memaksimalkan y. Nilai y maksimum adalah 100 (ketika x=0). Z_min = 150000 - 300(100) = 120000. Namun, mari kita periksa lagi kendala: banyak kue lapis yang terjual setiap hari tidak kurang dari 30 potong (y >= 30). Dan banyak kue kukus yang terjual setiap hari tidak lebih dari 50 potong (x <= 50). Karena x + y = 100: Jika x = 50, maka y = 50. Jika x < 50, maka y > 50. Jika x = 0, maka y = 100. Kendala y >= 30 sudah terpenuhi karena y harus lebih besar atau sama dengan 50 (agar x <= 50). Jadi, nilai y yang memenuhi adalah 50 <= y <= 100. Fungsi pendapatan: Z = 150000 - 300y. Untuk mendapatkan pendapatan minimum, kita perlu mencari nilai y yang membuat Z minimum. Ini terjadi ketika 300y maksimum, yaitu ketika y maksimum. Nilai y maksimum adalah 100 (ketika x=0). Namun, apakah x=0 mungkin? Jika x=0, maka y=100. Kendala x<=50 terpenuhi. Kendala y>=30 terpenuhi. Kendala x+y=100 terpenuhi. Z = 1500(0) + 1200(100) = 120000. Sekarang, mari kita pertimbangkan kasus lain. Jika kita hanya fokus pada rentang yang diizinkan oleh kedua jenis kue terjual. Kue kukus (x): 0 <= x <= 50 Kue lapis (y): 30 <= y <= 100 (karena x >= 0) Dan x + y = 100. Dari x + y = 100, kita punya y = 100 - x. Substitusikan ke fungsi pendapatan: Z = 1500x + 1200(100 - x) Z = 1500x + 120000 - 1200x Z = 300x + 120000 Untuk meminimalkan Z, kita perlu meminimalkan x. Nilai x minimum adalah 0. Jika x = 0, maka Z = 300(0) + 120000 = 120000. Dalam kasus ini, y = 100. Kendala terpenuhi: x=0 (<=50), y=100 (>=30), x+y=100. Namun, mari kita periksa lagi. Pendapatan minimum toko roti dari penjualan kue kukus dan kue lapis per hari rata-rata... Ada kemungkinan bahwa soal ini mengasumsikan kedua jenis kue terjual dalam jumlah tertentu yang memenuhi kendala. Mari kita kembali ke Z = 150000 - 300y, dengan 50 <= y <= 100. Untuk meminimalkan Z, y harus dimaksimalkan, yaitu y=100. Z = 120000. Untuk memaksimalkan Z, y harus diminimalkan, yaitu y=50. Z = 150000 - 300(50) = 150000 - 15000 = 135000. Jadi, pendapatan minimum adalah Rp120.000,00 (ketika terjual 0 kue kukus dan 100 kue lapis), dan pendapatan maksimum adalah Rp135.000,00 (ketika terjual 50 kue kukus dan 50 kue lapis). Jika pertanyaan mengacu pada pendapatan minimum, maka jawabannya adalah Rp120.000,00. Perlu dicatat bahwa jika ada interpretasi lain dari soal, hasilnya bisa berbeda. Misalnya, jika "tidak kurang dari 30 potong" berarti y harus minimal 30, dan "tidak lebih dari 50 potong" berarti x harus maksimal 50, dan jumlah total adalah 100. Jika kita harus menjual kedua jenis kue: Rentang x: 0 sampai 50. Rentang y: 30 sampai 100. Dan x + y = 100. Jika x = 50, y = 50. Z = 135000. Jika x = 49, y = 51. Z = 1500(49) + 1200(51) = 73500 + 61200 = 134700. Jika x = 0, y = 100. Z = 120000. Mungkin ada batasan implisit bahwa kedua jenis kue harus terjual. Jika kita harus menjual setidaknya satu dari masing-masing, maka x >= 1 dan y >= 1. Kendala yang paling ketat adalah: x <= 50 y >= 30 x + y = 100 Dari x + y = 100, kita dapatkan: x = 100 - y. Substitusi ke x <= 50: 100 - y <= 50 -y <= -50 y >= 50. Jadi, kendala y adalah 50 <= y <= 100 (karena x >= 0). Dan kendala x adalah 0 <= x <= 50. Fungsi pendapatan: Z = 1500x + 1200y Substitusi y = 100 - x: Z = 1500x + 1200(100 - x) Z = 1500x + 120000 - 1200x Z = 300x + 120000. Untuk meminimalkan Z, kita perlu nilai x terkecil, yaitu x = 0. Z_min = 300(0) + 120000 = 120000. Ini terjadi ketika x=0 dan y=100. Mari kita pertimbangkan kemungkinan bahwa "tidak lebih dari 50 potong" untuk kue kukus dan "tidak kurang dari 30 potong" untuk kue lapis membatasi rentang penjualan. Jika x = 50, maka y = 50. Pendapatan = 1500(50) + 1200(50) = 75000 + 60000 = 135000. Jika x = 40, maka y = 60. Pendapatan = 1500(40) + 1200(60) = 60000 + 72000 = 132000. Jika x = 30, maka y = 70. Pendapatan = 1500(30) + 1200(70) = 45000 + 84000 = 129000. Jika x = 20, maka y = 80. Pendapatan = 1500(20) + 1200(80) = 30000 + 96000 = 126000. Jika x = 10, maka y = 90. Pendapatan = 1500(10) + 1200(90) = 15000 + 108000 = 123000. Jika x = 0, maka y = 100. Pendapatan = 1500(0) + 1200(100) = 0 + 120000 = 120000. Nilai pendapatan minimum adalah Rp120.000,00.
Topik: Pendapatan, Optimasi
Section: Menentukan Nilai Minimum, Menghitung Pendapatan
Apakah jawaban ini membantu?