Sederhanakan bentuk logaritma berikut: 5^(5log10)+

a. 27, b. 74 (dengan asumsi sifat logaritma yang sesuai)

Pembahasan

Untuk menyederhanakan bentuk logaritma ini, kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma:
a^(a log b) = b
log_b(a^c) = c * log_b(a)
log_b(a*c) = log_b(a) + log_b(c)

Bagian a:
5^(5log10) + 4^(2log3) + 27^(3log2)
= 10 + 4^(log3^2) + 27^(log2^3)
= 10 + 4^(log9) + 27^(log8)
Kita perlu menggunakan sifat a^(b log_c d) = d^(b log_c a) atau mengubah basis logaritma jika diperlukan. Namun, bentuk yang lebih sederhana adalah jika basis logaritma sama dengan basis eksponen.
Menggunakan sifat a^(a log b) = b:
5^(5log10) = 10

Untuk 4^(2log3), kita bisa tulis ulang menjadi (2^2)^(2log3) = 2^(4log3) = 2^(log3^4) = 2^(log81). Ini tidak menyederhanakan dengan mudah.
Namun, jika maksudnya adalah 4^(log_4(3^2)) atau semacamnya, maka akan lebih mudah.
Jika kita menganggap 2log3 sebagai log_b(3^2) = log_b(9), maka 4^(log_b(9)).

Mari kita asumsikan ada kesalahan penulisan dan maksudnya adalah:
5^(log_5 10) = 10
4^(log_4 3^2) = 3^2 = 9
27^(log_3 2) = (3^3)^(log_3 2) = 3^(3*log_3 2) = 3^(log_3 2^3) = 3^(log_3 8) = 8
Maka, bagian a = 10 + 9 + 8 = 27.

Bagian b:
9^(3log2) + 16^(4log2) - (5^(5log3))/(3^(3log1/2))
= 9^(log2^3) + 16^(log2^4) - (3^(log3)) / ( (1/2)^(log3 3) )
= 9^(log8) + 16^(log16) - 3 / ( (1/2)^1 )
= 9^(log8) + 16 - 3 / (1/2)
= 9^(log8) + 16 - 6
= 9^(log8) + 10

Jika kita mengasumsikan basis logaritma yang sesuai:
9^(log_3 2^3) = 9^(log_3 8) = (3^2)^(log_3 8) = 3^(2*log_3 8) = 3^(log_3 8^2) = 3^(log_3 64) = 64
16^(log_4 2^4) = 16^(log_4 16) = 16

Dengan asumsi ini:
Bagian a: 10 + 9 + 8 = 27
Bagian b: 64 + 16 - (3 / (1/2)) = 64 + 16 - 6 = 74

Namun, jika soalnya persis seperti yang tertulis, penyederhanaannya menjadi lebih kompleks tanpa informasi basis logaritma yang jelas atau asumsi sifat a^(b log c) = c^(b log a).

Mari kita coba asumsi standar logaritma basis 10 (log) dan natural logaritma (ln) jika tidak ditulis.
Jika 'log' berarti logaritma basis 10:
5^(5log10) = 5^(5*1) = 5^5 = 3125
4^(2log3) = 4^(log3^2) = 4^(log9) 
27^(3log2) = 27^(log2^3) = 27^(log8)

Ini tidak menghasilkan penyederhanaan yang mudah. Kemungkinan besar, soal ini mengacu pada sifat a^(a log_a b) = b.

Mari kita asumsikan:
Bagian a: 5^(log_5 10) + 4^(log_4 3^2) + 27^(log_3 2^3)
= 10 + 3^2 + 2^3
= 10 + 9 + 8 = 27

Bagian b: 9^(log_3 2^3) + 16^(log_4 2^4) - (5^(log_5 3)) / (3^(log_3 1/2))
= 3^(2 * log_3 2^3) + 16 - 3 / (1/2)
= 3^(log_3 (2^3)^2) + 16 - 6
= 3^(log_3 64) + 10
= 64 + 10 = 74

Jadi, penyederhanaan bentuk logaritma:
a. 27
b. 74