Nilai Iimit x->0 (x tan x)/(1 - cos (2x)) adalah ....

Nilai limit adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit x->0 (x tan x)/(1 - cos (2x)), kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau substitusi dengan identitas trigonometri.
Metode 1: Menggunakan Identitas Trigonometri.
Kita tahu bahwa 1 - cos(2x) = 2 sin^2 x.
Jadi, limitnya menjadi:
lim (x->0) (x tan x) / (2 sin^2 x)
Gunakan tan x = sin x / cos x:
lim (x->0) (x * (sin x / cos x)) / (2 sin^2 x)
lim (x->0) (x sin x) / (2 cos x sin^2 x)
lim (x->0) x / (2 cos x sin x)
Gunakan sin 2x = 2 sin x cos x, sehingga sin x cos x = (1/2) sin 2x:
lim (x->0) x / (sin 2x)
Kita tahu bahwa lim (x->0) sin(ax)/bx = a/b. Untuk membuat bentuk ini, kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan 2:
lim (x->0) (2x) / (2 sin 2x)
lim (x->0) (2x / sin 2x) * (1/2)
Karena lim (y->0) y / sin y = 1, maka:
1 * (1/2) = 1/2.
Metode 2: Aturan L'Hopital.
Karena substitusi x=0 menghasilkan bentuk 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital.
Turunan dari pembilang (x tan x) adalah: 1*tan x + x*sec^2 x.
Turunan dari penyebut (1 - cos(2x)) adalah: -(-sin(2x)*2) = 2 sin(2x).
Jadi, limitnya menjadi:
lim (x->0) (tan x + x sec^2 x) / (2 sin(2x))
Substitusikan x=0:
(tan 0 + 0 * sec^2 0) / (2 sin 0)
(0 + 0 * 1) / (2 * 0)
(0) / (0)
Karena masih menghasilkan 0/0, kita gunakan L'Hopital lagi.
Turunan dari pembilang (tan x + x sec^2 x) adalah: sec^2 x + (1*sec^2 x + x*2 sec x (sec x tan x)) = sec^2 x + sec^2 x + 2x sec^2 x tan x = 2 sec^2 x + 2x sec^2 x tan x.
Turunan dari penyebut (2 sin(2x)) adalah: 2 * cos(2x) * 2 = 4 cos(2x).
Jadi, limitnya menjadi:
lim (x->0) (2 sec^2 x + 2x sec^2 x tan x) / (4 cos(2x))
Substitusikan x=0:
(2 sec^2 0 + 2*0*sec^2 0*tan 0) / (4 cos 0)
(2 * 1 + 0) / (4 * 1)
2 / 4 = 1/2.
Jadi, nilai limitnya adalah 1/2.