Sebuah fungsi kuadrat bernilai positif untuk

Rumus fungsi kuadrat adalah f(x) = -1/2 x^2 + 3/2 x + 2 dan koordinat titik puncaknya adalah (3/2, 25/8).

Pembahasan

Diketahui sebuah fungsi kuadrat bernilai positif untuk {x|-1<=x<=4}. Ini berarti grafik fungsi kuadrat berada di atas sumbu-x pada interval tersebut, dan memotong sumbu-x di x=-1 dan x=4 (sebagai akar-akarnya).
Grafik fungsi kuadrat melalui titik (0,2).

a. Menentukan rumus fungsi kuadrat:
Karena akar-akarnya adalah x1 = -1 dan x2 = 4, kita bisa menulis fungsi kuadrat dalam bentuk:
f(x) = a(x - x1)(x - x2)
f(x) = a(x - (-1))(x - 4)
f(x) = a(x + 1)(x - 4)
Untuk mencari nilai 'a', kita gunakan informasi bahwa grafik melalui titik (0,2). Substitusikan x=0 dan f(x)=2:
2 = a(0 + 1)(0 - 4)
2 = a(1)(-4)
2 = -4a
a = 2 / -4
a = -1/2
Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah f(x) = -1/2 (x + 1)(x - 4).
Kita bisa juga menulisnya dalam bentuk umum:
f(x) = -1/2 (x^2 - 4x + x - 4)
f(x) = -1/2 (x^2 - 3x - 4)
f(x) = -1/2 x^2 + 3/2 x + 2

b. Menentukan koordinat titik puncak grafik:
Untuk fungsi kuadrat f(x) = ax^2 + bx + c, koordinat titik puncak (xp, yp) dapat dihitung dengan:
xp = -b / 2a
yp = -D / 4a = -(b^2 - 4ac) / 4a
Dari rumus f(x) = -1/2 x^2 + 3/2 x + 2, kita punya a = -1/2, b = 3/2, c = 2.
Menghitung xp:
xp = -(3/2) / (2 * (-1/2))
xp = -(3/2) / (-1)
xp = 3/2
Menghitung yp:
yp = -((3/2)^2 - 4*(-1/2)*2) / (4 * (-1/2))
yp = -(9/4 - (-4)) / (-2)
yp = -(9/4 + 4) / (-2)
yp = -(9/4 + 16/4) / (-2)
yp = -(25/4) / (-2)
yp = 25/8
Atau, kita bisa menghitung yp dengan mensubstitusikan xp ke dalam rumus fungsi:
f(3/2) = -1/2 (3/2)^2 + 3/2 (3/2) + 2
f(3/2) = -1/2 (9/4) + 9/4 + 2
f(3/2) = -9/8 + 18/8 + 16/8
f(3/2) = (-9 + 18 + 16) / 8
f(3/2) = 25/8
Jadi, koordinat titik puncak grafik adalah (3/2, 25/8).