Sederhanakanlah: (2 tan (37 1/2))/(1 - tan^2(37 1/2))

tan(75°) atau 2 + \sqrt{3}

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi \frac{2 \tan(37.5^{\circ})}{1 - \tan^2(37.5^{\circ})}, kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk sudut ganda.

Identitas yang relevan adalah:
\tan(2\theta) = \frac{2 \tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)}

Dalam soal ini, \theta = 37.5^{\circ}.

Maka, ekspresi yang diberikan adalah tepat dalam bentuk \tan(2\theta).

Jadi, kita dapat mengganti \theta dengan 37.5^{\circ} ke dalam identitas tersebut:
\frac{2 \tan(37.5^{\circ})}{1 - \tan^2(37.5^{\circ})} = \tan(2 \times 37.5^{\circ})

Menghitung 2 \times 37.5^{\circ}:
2 \times 37.5^{\circ} = 75^{\circ}

Oleh karena itu, ekspresi tersebut disederhanakan menjadi \tan(75^{\circ}).

Nilai dari \tan(75^{\circ}) dapat dihitung sebagai berikut:
\tan(75^{\circ}) = \tan(45^{\circ} + 30^{\circ})
Menggunakan identitas \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}:
\tan(75^{\circ}) = \frac{\tan 45^{\circ} + \tan 30^{\circ}}{1 - \tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}}
\tan(75^{\circ}) = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}
\tan(75^{\circ}) = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}

Untuk menyederhanakan lebih lanjut, kalikan pembilang dan penyebut dengan \sqrt{3}:
\tan(75^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}

Kalikan dengan konjugat penyebut (\sqrt{3} + 1):
\tan(75^{\circ}) = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}
\tan(75^{\circ}) = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}
\tan(75^{\circ}) = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1}
\tan(75^{\circ}) = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}
\tan(75^{\circ}) = 2 + \sqrt{3}

Jadi, hasil penyederhanaan dari ekspresi tersebut adalah \tan(75^{\circ}) atau \(2 + \sqrt{3}).