Segitiga ABC dibentuk oleh tiga buah garis x+y-2 = 0,

Bayangan segitiga ABC oleh dilatasi [P(5, 4), -3] adalah segitiga A'(17, 13), B'(8, 22), dan C'(11, 7). Perbandingan luas segitiga A'B'C' terhadap segitiga ABC adalah 9:1.

Pembahasan

Untuk menentukan bayangan segitiga ABC oleh dilatasi [P, -3] dengan P(5, 4), kita perlu mencari koordinat titik-titik potong dari ketiga garis yang membentuk segitiga tersebut terlebih dahulu.

Garis 1: x + y - 2 = 0
Garis 2: x - y = 0
Garis 3: 5x + y - 18 = 0

Titik Potong A (Garis 1 dan Garis 2):
Dari Garis 2, kita punya x = y. Substitusikan ke Garis 1:
x + x - 2 = 0 => 2x = 2 => x = 1. Maka y = 1. Jadi, A(1, 1).

Titik Potong B (Garis 1 dan Garis 3):
Dari Garis 1, y = 2 - x. Substitusikan ke Garis 3:
5x + (2 - x) - 18 = 0 => 4x - 16 = 0 => 4x = 16 => x = 4. Maka y = 2 - 4 = -2. Jadi, B(4, -2).

Titik Potong C (Garis 2 dan Garis 3):
Dari Garis 2, x = y. Substitusikan ke Garis 3:
5x + x - 18 = 0 => 6x = 18 => x = 3. Maka y = 3. Jadi, C(3, 3).

Sekarang kita akan mencari bayangan titik-titik A, B, dan C oleh dilatasi [P(5, 4), -3]. Rumus bayangan titik (x, y) oleh dilatasi [P(a, b), k] adalah:
x' = a + k(x - a)
y' = b + k(y - b)

Bayangan A' (dari A(1, 1)):
x'_A = 5 + (-3)(1 - 5) = 5 + (-3)(-4) = 5 + 12 = 17
y'_A = 4 + (-3)(1 - 4) = 4 + (-3)(-3) = 4 + 9 = 13. Jadi, A'(17, 13).

Bayangan B' (dari B(4, -2)):
x'_B = 5 + (-3)(4 - 5) = 5 + (-3)(-1) = 5 + 3 = 8
y'_B = 4 + (-3)(-2 - 4) = 4 + (-3)(-6) = 4 + 18 = 22. Jadi, B'(8, 22).

Bayangan C' (dari C(3, 3)):
x'_C = 5 + (-3)(3 - 5) = 5 + (-3)(-2) = 5 + 6 = 11
y'_C = 4 + (-3)(3 - 4) = 4 + (-3)(-1) = 4 + 3 = 7. Jadi, C'(11, 7).

Untuk menunjukkan bahwa luas segitiga A'B'C' : luas segitiga ABC = 9:1, kita bisa menggunakan fakta bahwa luas bayangan hasil dilatasi dengan faktor skala k adalah k^2 kali luas bangun aslinya. Dalam kasus ini, k = -3, sehingga k^2 = (-3)^2 = 9. Jadi, Luas A'B'C' : Luas ABC = 9:1.

Kita bisa memverifikasi ini dengan menghitung luas kedua segitiga menggunakan rumus luas segitiga dengan koordinat titik-titik sudut:
Luas = 1/2 |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

Luas ABC = 1/2 |1( -2 - 3) + 4(3 - 1) + 3(1 - (-2))|
Luas ABC = 1/2 |1(-5) + 4(2) + 3(3)|
Luas ABC = 1/2 |-5 + 8 + 9|
Luas ABC = 1/2 |12| = 6

Luas A'B'C' = 1/2 |17(22 - 7) + 8(7 - 13) + 11(13 - 22)|
Luas A'B'C' = 1/2 |17(15) + 8(-6) + 11(-9)|
Luas A'B'C' = 1/2 |255 - 48 - 99|
Luas A'B'C' = 1/2 |108| = 54

Perbandingan Luas A'B'C' : Luas ABC = 54 : 6 = 9 : 1. Hal ini sesuai dengan teori dilatasi.