Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathGeometri

Segitiga ABC dibentuk oleh tiga buah garis x+y-2 = 0,

Pertanyaan

Segitiga ABC dibentuk oleh tiga buah garis x+y-2 = 0, x-y=0, dan 5X + y-18=0, yang saling berpotongan. Tentukan bayangan segitiga ABC oleh dilatasi [P, -3], dengan P(5, 4). Jika segitiga A'B'C' adalah bayangan segitigaABC oleh dilatasi itu, tunjukkan bahwa luas segitigaA'B'C' : luas segitiga ABC = 9:1.

Solusi

Verified

Bayangan segitiga ABC oleh dilatasi [P(5, 4), -3] adalah segitiga A'(17, 13), B'(8, 22), dan C'(11, 7). Perbandingan luas segitiga A'B'C' terhadap segitiga ABC adalah 9:1.

Pembahasan

Untuk menentukan bayangan segitiga ABC oleh dilatasi [P, -3] dengan P(5, 4), kita perlu mencari koordinat titik-titik potong dari ketiga garis yang membentuk segitiga tersebut terlebih dahulu. Garis 1: x + y - 2 = 0 Garis 2: x - y = 0 Garis 3: 5x + y - 18 = 0 Titik Potong A (Garis 1 dan Garis 2): Dari Garis 2, kita punya x = y. Substitusikan ke Garis 1: x + x - 2 = 0 => 2x = 2 => x = 1. Maka y = 1. Jadi, A(1, 1). Titik Potong B (Garis 1 dan Garis 3): Dari Garis 1, y = 2 - x. Substitusikan ke Garis 3: 5x + (2 - x) - 18 = 0 => 4x - 16 = 0 => 4x = 16 => x = 4. Maka y = 2 - 4 = -2. Jadi, B(4, -2). Titik Potong C (Garis 2 dan Garis 3): Dari Garis 2, x = y. Substitusikan ke Garis 3: 5x + x - 18 = 0 => 6x = 18 => x = 3. Maka y = 3. Jadi, C(3, 3). Sekarang kita akan mencari bayangan titik-titik A, B, dan C oleh dilatasi [P(5, 4), -3]. Rumus bayangan titik (x, y) oleh dilatasi [P(a, b), k] adalah: x' = a + k(x - a) y' = b + k(y - b) Bayangan A' (dari A(1, 1)): x'_A = 5 + (-3)(1 - 5) = 5 + (-3)(-4) = 5 + 12 = 17 y'_A = 4 + (-3)(1 - 4) = 4 + (-3)(-3) = 4 + 9 = 13. Jadi, A'(17, 13). Bayangan B' (dari B(4, -2)): x'_B = 5 + (-3)(4 - 5) = 5 + (-3)(-1) = 5 + 3 = 8 y'_B = 4 + (-3)(-2 - 4) = 4 + (-3)(-6) = 4 + 18 = 22. Jadi, B'(8, 22). Bayangan C' (dari C(3, 3)): x'_C = 5 + (-3)(3 - 5) = 5 + (-3)(-2) = 5 + 6 = 11 y'_C = 4 + (-3)(3 - 4) = 4 + (-3)(-1) = 4 + 3 = 7. Jadi, C'(11, 7). Untuk menunjukkan bahwa luas segitiga A'B'C' : luas segitiga ABC = 9:1, kita bisa menggunakan fakta bahwa luas bayangan hasil dilatasi dengan faktor skala k adalah k^2 kali luas bangun aslinya. Dalam kasus ini, k = -3, sehingga k^2 = (-3)^2 = 9. Jadi, Luas A'B'C' : Luas ABC = 9:1. Kita bisa memverifikasi ini dengan menghitung luas kedua segitiga menggunakan rumus luas segitiga dengan koordinat titik-titik sudut: Luas = 1/2 |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| Luas ABC = 1/2 |1( -2 - 3) + 4(3 - 1) + 3(1 - (-2))| Luas ABC = 1/2 |1(-5) + 4(2) + 3(3)| Luas ABC = 1/2 |-5 + 8 + 9| Luas ABC = 1/2 |12| = 6 Luas A'B'C' = 1/2 |17(22 - 7) + 8(7 - 13) + 11(13 - 22)| Luas A'B'C' = 1/2 |17(15) + 8(-6) + 11(-9)| Luas A'B'C' = 1/2 |255 - 48 - 99| Luas A'B'C' = 1/2 |108| = 54 Perbandingan Luas A'B'C' : Luas ABC = 54 : 6 = 9 : 1. Hal ini sesuai dengan teori dilatasi.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Transformasi Geometri
Section: Dilatasi

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...