Sejumlah siswa melakukan tes Matematika dengan nilai

Jumlah siswa minimum yang mengikuti tes tersebut adalah 13.

Pembahasan

Untuk menentukan jumlah siswa minimum, kita dapat menggunakan konsep rata-rata tertimbang. Misalkan jumlah siswa yang memperoleh nilai 100 adalah 5, dan jumlah siswa lainnya adalah x. Nilai terendah adalah 60. Rata-rata nilai adalah 76.

Total nilai = (Jumlah siswa dengan nilai 100 * 100) + (Jumlah siswa dengan nilai 60 * 60)
Total nilai = (5 * 100) + (x * 60)
Total nilai = 500 + 60x

Jumlah total siswa = 5 + x

Rata-rata = Total nilai / Jumlah total siswa
76 = (500 + 60x) / (5 + x)

76 * (5 + x) = 500 + 60x
380 + 76x = 500 + 60x
76x - 60x = 500 - 380
16x = 120
x = 120 / 16
x = 7.5

Karena jumlah siswa harus bilangan bulat, kita perlu mempertimbangkan bahwa nilai 60 adalah nilai terendah. Untuk meminimalkan jumlah siswa, kita asumsikan semua siswa lain memperoleh nilai 60. Namun, hasil perhitungan x = 7.5 menunjukkan bahwa tidak mungkin hanya ada dua kelompok nilai (100 dan 60) yang menghasilkan rata-rata 76 dengan jumlah siswa bulat. Ini menyiratkan bahwa ada nilai-nilai lain di antara 60 dan 100. 

Mari kita gunakan pendekatan yang berbeda untuk mencari jumlah minimum siswa. Misalkan ada n siswa. Diketahui 5 siswa mendapat nilai 100. Sisanya, yaitu (n-5) siswa, memperoleh nilai minimal 60. Rata-rata adalah 76.

Total skor = (5 * 100) + ((n-5) * 60) = 500 + 60n - 300 = 200 + 60n

Rata-rata = Total skor / n
76 = (200 + 60n) / n
76n = 200 + 60n
16n = 200
n = 200 / 16
n = 12.5

Sekali lagi, kita mendapatkan hasil non-bulat. Ini menunjukkan bahwa kita perlu meminimalkan jumlah siswa dengan memaksimalkan skor siswa yang tersisa tanpa melanggar aturan rata-rata. 

Misalkan n adalah jumlah total siswa. 5 siswa mendapat 100. n-5 siswa mendapat nilai minimal 60. Rata-rata adalah 76.
Untuk meminimalkan n, kita harus memaksimalkan skor dari n-5 siswa tersebut, tetapi tetap di bawah 100 dan di atas atau sama dengan 60. Namun, jika kita ingin mencari jumlah minimum siswa, kita harus mempertimbangkan skenario terburuk (nilai terendah) untuk siswa yang tidak mendapat nilai 100.

Mari kita gunakan aljabar lagi dengan asumsi yang benar untuk mencari nilai minimum. Misalkan jumlah siswa adalah N. Lima siswa mendapat nilai 100. N-5 siswa mendapat nilai minimal 60. Rata-rata adalah 76.

(5 * 100 + (N-5) * 60) / N = 76
500 + 60N - 300 = 76N
200 + 60N = 76N
200 = 16N
N = 200 / 16
N = 12.5

Karena jumlah siswa harus bilangan bulat, kita perlu mempertimbangkan bahwa jika rata-rata adalah 76, dan ada nilai 100 dan 60, maka harus ada lebih banyak siswa yang mendapat nilai di atas rata-rata untuk mengimbangi siswa yang mendapat nilai di bawah rata-rata. 

Untuk mencari jumlah siswa minimum, kita bisa berpikir seperti ini: Misalkan ada N siswa. 5 siswa mendapat 100. Sisanya (N-5) siswa harus memiliki rata-rata yang cukup rendah agar rata-rata keseluruhan menjadi 76. Nilai terendah adalah 60.

Misalkan x siswa mendapat nilai 100, dan y siswa mendapat nilai 60. Rata-rata = (100x + 60y) / (x+y) = 76
100x + 60y = 76x + 76y
24x = 16y
3x = 2y
Perbandingan x:y = 2:3.
Ini berarti setidaknya harus ada 2 siswa dengan nilai 100 dan 3 siswa dengan nilai 60. Jadi, minimal 5 siswa.

Namun, di soal ini, diketahui 5 siswa mendapat nilai 100. Kita perlu mencari jumlah minimum siswa total. 
Misalkan jumlah siswa total adalah N. 5 siswa mendapat 100. N-5 siswa mendapat nilai antara 60 dan 99. Rata-rata adalah 76.
Untuk meminimalkan N, kita perlu memaksimalkan nilai siswa lain, tetapi tetap di bawah 100. Jika semua N-5 siswa mendapat nilai 99:
(5*100 + (N-5)*99) / N = 76
500 + 99N - 495 = 76N
5 + 99N = 76N
23N = -5
Ini tidak masuk akal.

Mari kita gunakan konsep bahwa jika rata-rata adalah 76, dan nilai terendah adalah 60, maka selisih dari rata-rata untuk siswa dengan nilai 60 adalah 76-60 = 16. Selisih dari rata-rata untuk siswa dengan nilai 100 adalah 100-76 = 24.

Misalkan ada 5 siswa dengan nilai 100. Misalkan ada 'n' siswa lain dengan nilai minimum 60.
Total selisih di bawah rata-rata harus sama dengan total selisih di atas rata-rata.
Untuk 5 siswa dengan nilai 100, total kelebihan skor dibandingkan rata-rata = 5 * (100 - 76) = 5 * 24 = 120.

Ini berarti total kekurangan skor dari siswa lain harus 120.
Misalkan ada 'k' siswa lain yang nilainya adalah 60 (nilai minimum). Kekurangan skor mereka dari rata-rata = k * (76 - 60) = k * 16.

Jadi, 16k = 120
k = 120 / 16 = 7.5

Karena jumlah siswa harus bilangan bulat, ini berarti tidak mungkin hanya ada siswa dengan nilai 100 dan 60. Harus ada nilai lain. Untuk meminimalkan jumlah siswa, kita harus membuat selisih kekurangan skor dari siswa lain sekecil mungkin. 

Jika kita memiliki 5 siswa dengan nilai 100 (total kelebihan 120), dan kita perlu menutupi kekurangan ini dengan siswa yang nilainya minimal 60. 
Jika kita memiliki 8 siswa dengan nilai 60, total kekurangan = 8 * (76 - 60) = 8 * 16 = 128. Ini terlalu banyak.
Jika kita memiliki 7 siswa dengan nilai 60, total kekurangan = 7 * (76 - 60) = 7 * 16 = 112. Ini kurang.

Ini berarti kita perlu komposisi nilai lain. 

Untuk meminimalkan jumlah siswa, kita ingin nilai siswa lain sedekat mungkin dengan 76, tetapi tidak melebihi 76 jika mereka di bawah rata-rata, dan tidak kurang dari 60. 

Misalkan N adalah jumlah total siswa. 5 siswa mendapat 100. N-5 siswa mendapat nilai minimal 60.
Total skor = 5 * 100 + (N-5) * S_avg_others = 500 + (N-5) * S_avg_others
N * 76 = 500 + (N-5) * S_avg_others
76N = 500 + N*S_avg_others - 5*S_avg_others
N(76 - S_avg_others) = 500 - 5*S_avg_others
N = (500 - 5*S_avg_others) / (76 - S_avg_others)

Kita tahu 60 <= S_avg_others < 100.
Untuk meminimalkan N, kita ingin penyebut (76 - S_avg_others) sekecil mungkin (tapi positif) dan pembilang (500 - 5*S_avg_others) sekecil mungkin.
Jika S_avg_others mendekati 76 dari bawah, misalnya S_avg_others = 75.9.
N = (500 - 5*75.9) / (76 - 75.9) = (500 - 379.5) / 0.1 = 120.5 / 0.1 = 1205.
Ini sangat besar.

Jika S_avg_others = 60.
N = (500 - 5*60) / (76 - 60) = (500 - 300) / 16 = 200 / 16 = 12.5.
Karena N harus bilangan bulat, maka jumlah siswa minimum adalah 13.
Mari kita cek dengan 13 siswa. 5 siswa mendapat 100. 8 siswa mendapat nilai lain. Rata-rata 76.
Total skor = 13 * 76 = 988.
Skor dari 5 siswa = 5 * 100 = 500.
Skor dari 8 siswa = 988 - 500 = 488.
Rata-rata 8 siswa = 488 / 8 = 61.
Ini memenuhi syarat karena 61 adalah nilai minimum 60. Jadi, jumlah siswa minimum adalah 13.