Selesaikamlan bentuk integral berikut dengan metode

Hasil integralnya adalah -2(6-x^2)^(3/2) + C.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral \(\int 6x \sqrt{6-x^2} dx\) menggunakan metode substitusi, kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

1. **Identifikasi substitusi yang sesuai:** Perhatikan bahwa turunan dari \(6-x^2\) adalah \(-2x\), yang memiliki kemiripan dengan bagian \(6x dx\) dari integral.
   Misalkan \(u = 6-x^2\).

2. **Cari diferensial dari substitusi:** Turunkan \(u\) terhadap \(x\) untuk mendapatkan \(du/dx\).
   \(du/dx = -2x\)
   Susun ulang untuk mendapatkan \(dx\) atau \(x dx\):
   \(du = -2x dx\)
   \(x dx = -1/2 du\)

3. **Substitusikan ke dalam integral:** Ganti \(6-x^2\) dengan \(u\) dan \(x dx\) dengan \(-1/2 du\). Perhatikan bahwa kita memiliki \(6x dx\), jadi kita perlu menyesuaikannya:
   \(6x dx = 6 (x dx) = 6 (-1/2 du) = -3 du\)

   Integral sekarang menjadi:
   \(\int \sqrt{u} (-3 du)\)
   \(= -3 \int u^{1/2} du\)

4. **Integrasikan terhadap \(u\):** Gunakan aturan pangkat untuk integrasi \(\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C\).
   \(-3 \int u^{1/2} du = -3 \left( \frac{u^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} \right) + C\)
   \(= -3 \left( \frac{u^{3/2}}{3/2} \right) + C\)
   \(= -3 \left( \frac{2}{3} u^{3/2} \right) + C\)
   \(= -2 u^{3/2} + C\)

5. **Substitusikan kembali \(u\) ke dalam ekspresi:** Ganti kembali \(u\) dengan \(6-x^2\).
   \(-2 (6-x^2)^{3/2} + C\)

Jadi, hasil dari integral \(\int 6x \sqrt{6-x^2} dx\) adalah \(-2(6-x^2)^{3/2} + C\).