Selesaikan integral e^(2x) sin x dx

Hasil integralnya adalah (2/5)e^(2x) sin x - (1/5)e^(2x) cos x + C.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral dari e^(2x) sin x dx, kita menggunakan metode integrasi parsial dua kali.

Langkah 1: Integrasi parsial pertama.
Pilih u = sin x dan dv = e^(2x) dx.
Maka du = cos x dx dan v = (1/2)e^(2x).

Integral = uv - integral(v du)
Integral = (1/2)e^(2x) sin x - integral((1/2)e^(2x) cos x) dx
Integral = (1/2)e^(2x) sin x - (1/2) integral(e^(2x) cos x) dx

Langkah 2: Integrasi parsial kedua untuk integral(e^(2x) cos x) dx.
Pilih u = cos x dan dv = e^(2x) dx.
Maka du = -sin x dx dan v = (1/2)e^(2x).

Integral(e^(2x) cos x) dx = uv - integral(v du)
Integral(e^(2x) cos x) dx = (1/2)e^(2x) cos x - integral((1/2)e^(2x) (-sin x)) dx
Integral(e^(2x) cos x) dx = (1/2)e^(2x) cos x + (1/2) integral(e^(2x) sin x) dx

Langkah 3: Substitusikan hasil integrasi parsial kedua ke hasil integrasi parsial pertama.
Misalkan I = integral e^(2x) sin x dx.
I = (1/2)e^(2x) sin x - (1/2) [ (1/2)e^(2x) cos x + (1/2) integral(e^(2x) sin x) dx ]
I = (1/2)e^(2x) sin x - (1/4)e^(2x) cos x - (1/4) integral(e^(2x) sin x) dx
I = (1/2)e^(2x) sin x - (1/4)e^(2x) cos x - (1/4)I

Langkah 4: Selesaikan untuk I.
Pindahkan - (1/4)I ke sisi kiri persamaan.
I + (1/4)I = (1/2)e^(2x) sin x - (1/4)e^(2x) cos x
(5/4)I = (1/2)e^(2x) sin x - (1/4)e^(2x) cos x
Kalikan kedua sisi dengan (4/5).
I = (4/5) [ (1/2)e^(2x) sin x - (1/4)e^(2x) cos x ]
I = (2/5)e^(2x) sin x - (1/5)e^(2x) cos x

Jangan lupa menambahkan konstanta integrasi C.
Jadi, hasil integralnya adalah (2/5)e^(2x) sin x - (1/5)e^(2x) cos x + C.