Selesaikan limit-limit berikut. limit x->0 akar(1-cosx)/x

${\\sqrt{2}}/{2}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-\cos x}}{x}$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri $1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$.
$\\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-\cos x}}{x} = \\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2\sin^2(\frac{x}{2})}}{x}$
$= \\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}|\sin(\frac{x}{2})|}{x}$
Karena $x \to 0$, maka $\\sin(\frac{x}{2})$ akan positif, sehingga $|\\sin(\frac{x}{2})| = \\sin(\frac{x}{2})$.
$= \\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}\\sin(\frac{x}{2})}{x}$
Kita bisa memanipulasi ekspresi ini menjadi bentuk $\\frac{\\sin u}{u}$:
$= \\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}\\sin(\frac{x}{2})}{2 \cdot \frac{x}{2}}$
$= \\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \\frac{\\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}}$
Karena $\\lim_{u \to 0} \frac{\\sin u}{u} = 1$, maka:
$= \\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \\frac{\sqrt{2}}{2}$

Jawaban Ringkas: $\\frac{\sqrt{2}}{2}$

Metadata:
Grades: 11, 12
Chapters: Limit Fungsi
Topics: Limit Trigonometri
Sections: Pendekatan Trigonometri
Type: QnA