Selesaikan setiap PtLSVNM berikut. c. |x+2|>=2x=1

Penyelesaiannya adalah x <= 3.

Pembahasan

Soal ini meminta penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak |x+2| >= 2x - 1.

Pertidaksamaan nilai mutlak dapat dipecah menjadi dua kasus:

Kasus 1: x + 2 >= 2x - 1
2 + 1 >= 2x - x
3 >= x  atau x <= 3

Kasus 2: -(x + 2) >= 2x - 1
-x - 2 >= 2x - 1
-2 + 1 >= 2x + x
-1 >= 3x
-1/3 >= x atau x <= -1/3

Namun, kita juga perlu mempertimbangkan definisi nilai mutlak. Jika x+2 negatif, maka |x+2| = -(x+2).

Mari kita periksa kembali dengan metode kasus berdasarkan tanda dari ekspresi di dalam nilai mutlak (x+2).

Kasus A: x + 2 >= 0  => x >= -2
Dalam kasus ini, |x+2| = x+2.
Pertidaksamaan menjadi: x + 2 >= 2x - 1
3 >= x
Karena kita berada dalam kasus x >= -2, maka penyelesaian untuk kasus ini adalah -2 <= x <= 3.

Kasus B: x + 2 < 0  => x < -2
Dalam kasus ini, |x+2| = -(x+2).
Pertidaksamaan menjadi: -(x + 2) >= 2x - 1
-x - 2 >= 2x - 1
-1 >= 3x
x <= -1/3
Karena kita berada dalam kasus x < -2, maka irisan dari x < -2 dan x <= -1/3 adalah x < -2.

Menggabungkan hasil dari kedua kasus:
Irisan dari (-2 <= x <= 3) dan (x < -2) adalah tidak ada.
Namun, kita perlu menggabungkan seluruh himpunan penyelesaian dari kedua kasus tersebut, yaitu (-2 <= x <= 3) U (x < -2). Hal ini seharusnya tidak terjadi jika analisisnya benar.

Mari kita gunakan pendekatan lain: kuadratkan kedua sisi jika kedua sisi non-negatif. Namun, 2x-1 bisa negatif.

Cara yang paling aman adalah menggunakan definisi atau grafik.

Kita perlu menyelesaikan |x+2| >= 2x - 1.

Perhatikan bahwa jika 2x-1 < 0 (yaitu x < 1/2), maka |x+2| selalu lebih besar dari atau sama dengan ekspresi negatif, asalkan x+2 terdefinisi.
Jadi, untuk x < 1/2, pertidaksamaan ini selalu benar, kecuali jika x+2 negatif dan kita perlu berhati-hati. Namun, |x+2| selalu non-negatif.

Jika x < 1/2, maka 2x-1 < 0. Karena |x+2| selalu >= 0, maka |x+2| >= 2x-1 selalu benar untuk x < 1/2.

Sekarang, jika 2x-1 >= 0 (yaitu x >= 1/2).
Maka kita bisa mengkuadratkan kedua sisi:
(x+2)² >= (2x-1)²
x² + 4x + 4 >= 4x² - 4x + 1
0 >= 3x² - 8x - 3

Kita cari akar dari 3x² - 8x - 3 = 0.
Menggunakan rumus kuadratik: x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
x = [8 ± sqrt((-8)² - 4 * 3 * -3)] / (2 * 3)
x = [8 ± sqrt(64 + 36)] / 6
x = [8 ± sqrt(100)] / 6
x = [8 ± 10] / 6

Akar-akarnya adalah:
x1 = (8 + 10) / 6 = 18 / 6 = 3
x2 = (8 - 10) / 6 = -2 / 6 = -1/3

Karena parabola 3x² - 8x - 3 terbuka ke atas, maka 3x² - 8x - 3 <= 0 ketika x berada di antara akar-akarnya, yaitu -1/3 <= x <= 3.

Kita perlu menggabungkan kondisi ini dengan syarat bahwa x >= 1/2.
Irisan dari (-1/3 <= x <= 3) dan (x >= 1/2) adalah 1/2 <= x <= 3.

Sekarang kita gabungkan hasil dari kedua kondisi utama:
1. x < 1/2 (hasilnya benar)
2. 1/2 <= x <= 3 (hasilnya benar)

Menggabungkan kedua himpunan penyelesaian ini: (x < 1/2) U (1/2 <= x <= 3) memberikan hasil x <= 3.

Jadi, penyelesaian dari |x+2| >= 2x - 1 adalah x <= 3.