Selesaikan SPLTV berikut dengan cara invers matriks.

x = 0, y = 10, z = -19

Pembahasan

Untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) 6x + y = 10, -3y - z = -11, dan 4x - 2y - z = -1 menggunakan metode invers matriks, kita perlu mengubah sistem persamaan tersebut ke dalam bentuk matriks AX = B.

Pertama, mari kita susun ulang persamaan agar semua variabel berada di sisi kiri dan konstanta di sisi kanan:
1. 6x + y + 0z = 10
2. 0x - 3y - z = -11
3. 4x - 2y - z = -1

Sekarang, kita dapat menulisnya dalam bentuk matriks AX = B:

A = [[6, 1, 0], [0, -3, -1], [4, -2, -1]]
X = [[x], [y], [z]]
B = [[10], [-11], [-1]]

Untuk mencari solusi X, kita gunakan rumus X = A⁻¹B, di mana A⁻¹ adalah invers dari matriks A.

Langkah 1: Hitung determinan matriks A (det(A)).
det(A) = 6((-3)(-1) - (-1)(-2)) - 1(0(-1) - (-1)(4)) + 0(0(-2) - (-3)(4))
det(A) = 6(3 - 2) - 1(0 + 4) + 0
det(A) = 6(1) - 1(4)
det(A) = 6 - 4
det(A) = 2

Karena determinan tidak sama dengan nol (det(A) = 2), maka invers matriks A ada.

Langkah 2: Hitung matriks adjoin dari A (adj(A)). Matriks adjoin adalah transpos dari matriks kofaktor.

Kofaktor C₁₁ = (-1)^(1+1) * det([[-3, -1], [-2, -1]]) = 1 * ((-3)(-1) - (-1)(-2)) = 1 * (3 - 2) = 1
Kofaktor C₁₂ = (-1)^(1+2) * det([[0, -1], [4, -1]]) = -1 * (0(-1) - (-1)(4)) = -1 * (0 + 4) = -4
Kofaktor C₁₃ = (-1)^(1+3) * det([[0, -3], [4, -2]]) = 1 * (0(-2) - (-3)(4)) = 1 * (0 + 12) = 12

Kofaktor C₂₁ = (-1)^(2+1) * det([[1, 0], [-2, -1]]) = -1 * (1(-1) - 0(-2)) = -1 * (-1 - 0) = 1
Kofaktor C₂₂ = (-1)^(2+2) * det([[6, 0], [4, -1]]) = 1 * (6(-1) - 0(4)) = 1 * (-6 - 0) = -6
Kofaktor C₂₃ = (-1)^(2+3) * det([[6, 1], [4, -2]]) = -1 * (6(-2) - 1(4)) = -1 * (-12 - 4) = -1 * (-16) = 16

Kofaktor C₃₁ = (-1)^(3+1) * det([[1, 0], [-3, -1]]) = 1 * (1(-1) - 0(-3)) = 1 * (-1 - 0) = -1
Kofaktor C₃₂ = (-1)^(3+2) * det([[6, 0], [0, -1]]) = -1 * (6(-1) - 0(0)) = -1 * (-6 - 0) = 6
Kofaktor C₃₃ = (-1)^(3+3) * det([[6, 1], [0, -3]]) = 1 * (6(-3) - 1(0)) = 1 * (-18 - 0) = -18

Matriks Kofaktor C = [[1, -4, 12], [1, -6, 16], [-1, 6, -18]]

Matriks Adjoin adj(A) = Cᵀ = [[1, 1, -1], [-4, -6, 6], [12, 16, -18]]

Langkah 3: Hitung invers matriks A (A⁻¹).
A⁻¹ = (1/det(A)) * adj(A)
A⁻¹ = (1/2) * [[1, 1, -1], [-4, -6, 6], [12, 16, -18]]
A⁻¹ = [[1/2, 1/2, -1/2], [-2, -3, 3], [6, 8, -9]]

Langkah 4: Hitung X = A⁻¹B.
X = [[1/2, 1/2, -1/2], [-2, -3, 3], [6, 8, -9]] * [[10], [-11], [-1]]

x = (1/2)*10 + (1/2)*(-11) + (-1/2)*(-1) = 5 - 5.5 + 0.5 = 0
y = (-2)*10 + (-3)*(-11) + 3*(-1) = -20 + 33 - 3 = 10
z = 6*10 + 8*(-11) + (-9)*(-1) = 60 - 88 + 9 = -19

Jadi, solusi SPLTV tersebut adalah x = 0, y = 10, dan z = -19.