Selesaikanlah limit berikut. lim u->tak hingga

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit lim u->tak hingga u(sec(1/akar(u)) -1), kita dapat menggunakan substitusi atau ekspansi deret.

Metode 1: Menggunakan substitusi.
Misalkan t = 1/akar(u). Ketika u mendekati tak hingga, t mendekati 0.
Limit menjadi: lim t->0 (1/t^2)(sec(t) - 1)
Kita tahu bahwa sec(t) = 1/cos(t).
Limit = lim t->0 (1/t^2)(1/cos(t) - 1)
Limit = lim t->0 (1 - cos(t)) / (t^2 * cos(t))
Kita dapat menggunakan identitas trigonometri 1 - cos(t) = 2 * sin^2(t/2).
Limit = lim t->0 (2 * sin^2(t/2)) / (t^2 * cos(t))
Kita juga tahu bahwa untuk t yang kecil, sin(t) mendekati t, sehingga sin(t/2) mendekati t/2.
Limit = lim t->0 (2 * (t/2)^2) / (t^2 * cos(t))
Limit = lim t->0 (2 * t^2/4) / (t^2 * cos(t))
Limit = lim t->0 (t^2/2) / (t^2 * cos(t))
Limit = lim t->0 1 / (2 * cos(t))
Ketika t mendekati 0, cos(t) mendekati cos(0) = 1.
Limit = 1 / (2 * 1) = 1/2.

Metode 2: Menggunakan ekspansi deret Taylor untuk sec(x) di sekitar x=0.
sec(x) = 1 + x^2/2 + O(x^4).
Dalam kasus ini, x = 1/akar(u). Ketika u mendekati tak hingga, x mendekati 0.
sec(1/akar(u)) = 1 + (1/akar(u))^2 / 2 + O((1/akar(u))^4)
sec(1/akar(u)) = 1 + 1/(2u) + O(1/u^2).

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
lim u->tak hingga u * ( (1 + 1/(2u) + O(1/u^2)) - 1 )
lim u->tak hingga u * ( 1/(2u) + O(1/u^2) )
lim u->tak hingga (u/(2u) + u*O(1/u^2))
lim u->tak hingga (1/2 + O(1/u))
Ketika u mendekati tak hingga, O(1/u) mendekati 0.
Limit = 1/2.