Selidiki kebenaran pernyataan berikut.(2 sin a cos

Pernyataan tersebut benar.

Pembahasan

Untuk menyelidiki kebenaran pernyataan \((\frac{2 \sin a \cos a}{1+\cos^2 a-\sin^2 a})=\tan a\), kita akan menyederhanakan sisi kiri persamaan dan melihat apakah hasilnya sama dengan sisi kanan.

Sisi Kiri: \(\frac{2 \sin a \cos a}{1+\cos^2 a-\sin^2 a}\)

Kita tahu identitas trigonometri:
1. \(\sin(2a) = 2 \sin a \cos a\)
2. \(\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a\)
3. \(\cos(2a) = 2 \cos^2 a - 1\)  sehingga \(1 = 2 \cos^2 a - \cos(2a)\) atau \(1 = \cos(2a) + \sin^2 a\)
4. \(\cos(2a) = 1 - 2 \sin^2 a\) sehingga \(1 = \cos(2a) + 2 \sin^2 a\)

Mari kita gunakan identitas \(\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a\) untuk menyederhanakan penyebut.

Penyebut: \(1 + \cos^2 a - \sin^2 a\)
Gunakan \(1 = \sin^2 a + \cos^2 a\).
Penyebut = \(\sin^2 a + \cos^2 a + \cos^2 a - \sin^2 a\)
Penyebut = \(2 \cos^2 a\).

Atau, kita bisa menggunakan identitas \(\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a\) secara langsung pada penyebut: \(1 + (\cos^2 a - \sin^2 a) = 1 + \cos(2a)\).

Namun, cara yang lebih mudah adalah menggunakan identitas \(\cos(2a) = 2 \cos^2 a - 1\) yang dapat diubah menjadi \(1 + \cos(2a) = 2 \cos^2 a\).

Jadi, penyebutnya adalah \(2 \cos^2 a\).

Sekarang, kita substitusikan kembali ke sisi kiri persamaan:
Sisi Kiri = \(\frac{2 \sin a \cos a}{2 \cos^2 a}\)

Kita bisa membatalkan \(2\) dan \(\cos a\) dari pembilang dan penyebut (dengan asumsi \(\cos a \neq 0\)).

Sisi Kiri = \(\frac{\sin a}{\cos a}\)

Kita tahu bahwa \(\frac{\sin a}{\cos a} = \tan a\).

Jadi, Sisi Kiri = \(\tan a\).

Sisi Kanan = \(\tan a\).

Karena Sisi Kiri = Sisi Kanan, maka pernyataan \((\frac{2 \sin a \cos a}{1+\cos^2 a-\sin^2 a})=\tan a\) adalah benar.

Kesimpulan:
Pernyataan tersebut benar karena setelah disederhanakan menggunakan identitas trigonometri, sisi kiri persamaan identik dengan sisi kanan persamaan.