Seorang pedagang sepatu akan membeli tidak lebih dari 25

Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp 250.000,00 dengan membeli 25 pasang sepatu jenis I dan 0 pasang sepatu jenis II.

Pembahasan

Ini adalah soal program linear.

**1. Definisikan Variabel:**
Misalkan:
$x$ = jumlah sepatu jenis I
$y$ = jumlah sepatu jenis II

**2. Tentukan Fungsi Tujuan (Keuntungan Maksimum):**
Keuntungan sepatu jenis I = Rp 10.000,00
Keuntungan sepatu jenis II = Rp 7.500,00
Fungsi tujuan: $Z = 10000x + 7500y$

**3. Tentukan Kendala (Batasan):**
*   Jumlah sepatu tidak lebih dari 25 pasang:
    $x + y \le 25$

*   Modal yang dimiliki Rp 900.000,00:
    Harga sepatu jenis I = Rp 30.000,00
    Harga sepatu jenis II = Rp 40.000,00
    Kendala modal: $30000x + 40000y \le 900000$
    Disederhanakan: $3x + 4y \le 90$

*   Jumlah sepatu tidak boleh negatif:
    $x \ge 0$
    $y \ge 0$

**4. Cari Titik-titik Sudut (Titinik Optimum) dari Daerah Feasible:**
Kita perlu mencari titik potong dari garis-garis kendala:

*   Garis 1: $x + y = 25$
*   Garis 2: $3x + 4y = 90$

Kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi.
Dari Garis 1, $y = 25 - x$.
Substitusikan ke Garis 2:
$3x + 4(25 - x) = 90$
$3x + 100 - 4x = 90$
$-x = 90 - 100$
$-x = -10$
$x = 10$

Sekarang cari $y$:
$y = 25 - x = 25 - 10 = 15$

Jadi, salah satu titik potong adalah (10, 15).

Kita juga perlu mempertimbangkan titik-titik potong dengan sumbu:
*   Jika $x=0$ pada $x+y=25$, maka $y=25$. Titik (0, 25).
*   Jika $y=0$ pada $x+y=25$, maka $x=25$. Titik (25, 0).
*   Jika $x=0$ pada $3x+4y=90$, maka $4y=90 
ightarrow y=22.5$. Titik (0, 22.5).
*   Jika $y=0$ pada $3x+4y=90$, maka $3x=90 
ightarrow x=30$. Titik (30, 0).

Titik-titik sudut daerah feasible yang dibatasi oleh $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x+y \le 25$, dan $3x+4y \le 90$ adalah:

A = (0, 0)
B = (0, 22.5) (Karena $y=22.5$ lebih kecil dari $y=25$ saat $x=0$)
C = (10, 15) (Titik potong kedua garis)
D = (25, 0) (Karena $x=25$ lebih kecil dari $x=30$ saat $y=0$)

**5. Hitung Keuntungan pada Setiap Titik Sudut:**
*   Titik A (0, 0): $Z = 10000(0) + 7500(0) = 0$
*   Titik B (0, 22.5): Karena jumlah sepatu harus bilangan bulat, kita perlu mempertimbangkan titik integer terdekat. Namun, dalam program linear, kita gunakan nilai eksak terlebih dahulu. Jika kita asumsikan bisa membeli setengah pasang atau jika kita bulatkan ke bawah, maka $(0, 22)$. $Z = 10000(0) + 7500(22) = 165000$. Jika kita gunakan 22.5: $Z = 10000(0) + 7500(22.5) = 168750$.
    Mari kita gunakan titik integer yang memenuhi kendala: (0, 22). $0+22 
le 25$ (Benar), $3(0)+4(22)=88 
le 90$ (Benar). Keuntungan = $7500 	imes 22 = 165000$.

*   Titik C (10, 15):
    Periksa kendala: $10 + 15 = 25 \le 25$ (Benar)
    $3(10) + 4(15) = 30 + 60 = 90 \le 90$ (Benar)
    Keuntungan: $Z = 10000(10) + 7500(15) = 100000 + 112500 = 212500$

*   Titik D (25, 0):
    Periksa kendala: $25 + 0 = 25 \le 25$ (Benar)
    $3(25) + 4(0) = 75 \le 90$ (Benar)
    Keuntungan: $Z = 10000(25) + 7500(0) = 250000$

**6. Tentukan Keuntungan Maksimum:**
Membandingkan nilai Z pada titik-titik sudut:
Z(0, 22) = 165000
Z(10, 15) = 212500
Z(25, 0) = 250000

Keuntungan maksimum diperoleh pada titik (25, 0), yaitu membeli 25 pasang sepatu jenis I dan 0 pasang sepatu jenis II.

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang tersebut adalah Rp 250.000,00.