Seorang pemborong diharuskan membangun rumah tipe RS dan

Membangun 60 rumah tipe RS dan 60 rumah tipe RSS untuk laba maksimum Rp 270.000.000,00.

Pembahasan

Untuk menentukan jumlah rumah tipe RS dan RSS yang harus dibangun agar laba maksimum, kita dapat menggunakan konsep program linear.

Misalkan:
- x = jumlah rumah tipe RS
- y = jumlah rumah tipe RSS

Kendala yang dihadapi adalah:
1. Luas tanah: 90x + 60y <= 9000 (disederhanakan menjadi 3x + 2y <= 300)
2. Jumlah rumah: x + y <= 120
3. Non-negatif: x >= 0, y >= 0

Fungsi tujuan (laba maksimum) adalah: Z = 2.500.000x + 2.000.000y

Untuk mencari nilai maksimum, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kendala-kendala tersebut. Titik pojok ditemukan dari perpotongan garis kendala:

- Titik A (perpotongan x=0 dan y=0): (0, 0)
- Titik B (perpotongan 3x + 2y = 300 dengan x=0): (0, 150)
- Titik C (perpotongan x + y = 120 dengan y=0): (120, 0)
- Titik D (perpotongan 3x + 2y = 300 dengan x + y = 120):
  Dari x + y = 120, maka y = 120 - x.
  Substitusikan ke 3x + 2y = 300:
  3x + 2(120 - x) = 300
  3x + 240 - 2x = 300
  x = 60
  Maka y = 120 - 60 = 60.
  Jadi, Titik D adalah (60, 60).

Selanjutnya, kita hitung nilai Z di setiap titik pojok:
- Titik A (0, 0): Z = 2.500.000(0) + 2.000.000(0) = 0
- Titik B (0, 150): Tidak memenuhi kendala x + y <= 120 (karena 0 + 150 > 120). Jadi, titik ini tidak valid.
- Titik C (120, 0): Z = 2.500.000(120) + 2.000.000(0) = 300.000.000
- Titik D (60, 60): Z = 2.500.000(60) + 2.000.000(60) = 150.000.000 + 120.000.000 = 270.000.000

Namun, ada kekeliruan dalam pengecekan Titik B. Mari kita periksa kembali titik potong:

1. Kendala luas tanah: 90x + 60y <= 9000  => 3x + 2y <= 300
2. Kendala jumlah rumah: x + y <= 120

Titik Potong:
- Sumbu x (y=0) dari 3x + 2y = 300 => x = 100. Titik (100, 0).
- Sumbu y (x=0) dari 3x + 2y = 300 => y = 150. Titik (0, 150).
- Sumbu x (y=0) dari x + y = 120 => x = 120. Titik (120, 0).
- Sumbu y (x=0) dari x + y = 120 => y = 120. Titik (0, 120).
- Perpotongan 3x + 2y = 300 dan x + y = 120:
  x = 120 - y
  3(120 - y) + 2y = 300
  360 - 3y + 2y = 300
  -y = -60 => y = 60
  x = 120 - 60 = 60. Titik (60, 60).

Titik Pojok yang Valid (memenuhi semua kendala):
- (0, 0): Z = 0
- (100, 0): 3(100) + 2(0) = 300 <= 300. 100 + 0 = 100 <= 120. Valid. Z = 2.500.000(100) = 250.000.000
- (0, 120): 3(0) + 2(120) = 240 <= 300. 0 + 120 = 120 <= 120. Valid. Z = 2.000.000(120) = 240.000.000
- (60, 60): 3(60) + 2(60) = 180 + 120 = 300 <= 300. 60 + 60 = 120 <= 120. Valid. Z = 2.500.000(60) + 2.000.000(60) = 150.000.000 + 120.000.000 = 270.000.000

Dengan membandingkan nilai Z di titik-titik pojok yang valid, laba maksimum diperoleh ketika membangun 60 rumah tipe RS dan 60 rumah tipe RSS, dengan laba sebesar Rp 270.000.000,00.