Sesuai dengan gambar, nilai maksimum f(x,y)=4x+5y di daerah

20

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dari fungsi f(x,y) = 4x + 5y pada daerah yang diarsir, kita perlu menguji nilai fungsi pada titik-titik sudut (titik pojok) dari daerah tersebut.

Dari gambar daerah yang diarsir (yang tidak disertakan dalam teks, namun kita akan asumsikan berdasarkan pilihan jawaban yang diberikan untuk menentukan titik potong):
Kita perlu mengidentifikasi koordinat titik-titik sudut daerah yang memenuhi kendala.
Asumsikan daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh garis-garis yang membentuk poligon.

Misalkan titik-titik sudut daerah yang mungkin adalah (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ...

Jika kita melihat pilihan jawaban yang biasanya diberikan dalam soal semacam ini, titik-titik sudut yang mungkin perlu diuji adalah perpotongan garis-garis kendala.

Tanpa gambar yang spesifik, kita akan membuat asumsi umum berdasarkan format soal ini. Biasanya, daerah yang diarsir dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan satu atau dua garis linear.

Misalnya, jika daerah tersebut dibatasi oleh garis 2x + 3y = 12, x = 0, dan y = 0, maka titik sudutnya adalah (0,0), (6,0), dan (0,4).
Mari kita uji titik-titik ini:
- Di (0,0): f(0,0) = 4(0) + 5(0) = 0
- Di (6,0): f(6,0) = 4(6) + 5(0) = 24
- Di (0,4): f(0,4) = 4(0) + 5(4) = 20

Namun, jika kita mempertimbangkan kemungkinan lain berdasarkan angka yang diberikan (4, 2, 2, 3), ini bisa merujuk pada titik potong atau koefisien garis.

Mari kita asumsikan titik-titik sudut daerah yang diarsir adalah:
1. (0,0)
2. Titik potong sumbu x, misalnya jika ada garis yang memotong sumbu x di x=3, maka titiknya (3,0).
3. Titik potong sumbu y, misalnya jika ada garis yang memotong sumbu y di y=4, maka titiknya (0,4).
4. Titik potong antara dua garis, misalnya jika ada dua garis yang berpotongan di (2,2).

Mari kita uji nilai f(x,y) = 4x + 5y di titik-titik kandidat ini:
- Di (0,0): f(0,0) = 4(0) + 5(0) = 0
- Di (3,0): f(3,0) = 4(3) + 5(0) = 12
- Di (0,4): f(0,4) = 4(0) + 5(4) = 20
- Di (2,2): f(2,2) = 4(2) + 5(2) = 8 + 10 = 18

Jika ada titik lain, misalnya titik potong antara x=3 dan 2x+3y=12:
2(3) + 3y = 12 => 6 + 3y = 12 => 3y = 6 => y = 2. Titiknya (3,2).
- Di (3,2): f(3,2) = 4(3) + 5(2) = 12 + 10 = 22

Jika ada titik lain, misalnya titik potong antara y=4 dan 2x+3y=12:
2x + 3(4) = 12 => 2x + 12 = 12 => 2x = 0 => x = 0. Titiknya (0,4), sudah diuji.

Jika daerah yang diarsir dibatasi oleh garis x=2, y=3, dan 4x+5y=k (mencari nilai maksimum).
Titik sudutnya bisa (0,0), (2,0), (0,3), (2,3).
- Di (0,0): f(0,0) = 0
- Di (2,0): f(2,0) = 4(2) + 5(0) = 8
- Di (0,3): f(0,3) = 4(0) + 5(3) = 15
- Di (2,3): f(2,3) = 4(2) + 5(3) = 8 + 15 = 23

Berdasarkan angka "4 2 2 3" yang mungkin mengacu pada titik (2,2) atau batasan seperti x<=3 dan y<=4, nilai maksimum yang mungkin muncul adalah 20, 22, atau 23.

Jika kita mengasumsikan titik-titik sudut daerah yang diarsir adalah (0,0), (3,0), (2,2), dan (0,3), maka:
f(0,0) = 0
f(3,0) = 12
f(2,2) = 18
f(0,3) = 15
Nilai maksimumnya adalah 18.

Jika kita mengasumsikan titik-titik sudut daerah yang diarsir adalah (0,0), (3,0), (3,2), dan (0,4), maka:
f(0,0) = 0
f(3,0) = 12
f(3,2) = 22
f(0,4) = 20
Nilai maksimumnya adalah 22.

Tanpa gambar yang jelas, sulit untuk menentukan titik-titik sudut secara pasti. Namun, jika kita harus memilih dari hasil perhitungan umum, nilai maksimum cenderung berada pada titik yang terjauh dari titik asal searah dengan gradien fungsi tujuan.

Jika kita mengasumsikan titik-titik sudut yang paling mungkin berdasarkan angka yang diberikan (misalnya, perpotongan garis x=3, y=4, dan garis lain yang melalui (2,2) atau memotong di (2,2)), kemungkinan nilai maksimum adalah 20, 22, atau 23.

Jika nilai maksimumnya adalah 20, maka titik yang menghasilkan nilai ini adalah (0,4).
Jika nilai maksimumnya adalah 22, maka titik yang menghasilkan nilai ini adalah (3,2).
Jika nilai maksimumnya adalah 23, maka titik yang menghasilkan nilai ini adalah (2,3).

Kita perlu asumsi lebih lanjut tentang gambar daerah yang diarsir. Namun, jika kita melihat angka "4 2 2 3", ini bisa menyiratkan batasan seperti x ≤ 3, y ≤ 4, dan mungkin ada garis lain seperti 2x + y ≤ 8 atau sejenisnya, yang membentuk titik potong (2,2). Jika titik sudutnya adalah (0,0), (3,0), (2,2), dan (0,4) [asumsi batasan x<=3, y<=4 dan 2x+y<=8], maka:
f(0,0) = 0
f(3,0) = 12
f(2,2) = 18
f(0,4) = 20
Nilai maksimum adalah 20.

Mari kita coba batasan lain: x <= 2, y <= 3, dan garis yang melalui (3,2) dan (2,3).
Misal garisnya adalah x+y = 5. Maka titik sudutnya adalah (0,0), (2,0), (2,3), (0,3).
 f(0,0)=0, f(2,0)=8, f(2,3)=8+15=23, f(0,3)=15. Maksimum 23.

Asumsikan titik-titik sudut yang relevan adalah (0,0), (3,0), (2,2), (0,4).
Nilai f(x,y)=4x+5y pada titik-titik tersebut adalah:
f(0,0) = 0
f(3,0) = 12
f(2,2) = 18
f(0,4) = 20
Nilai maksimum adalah 20.