Sifat 2.5 Pembuat Nol Rasional Misalkan polinomial

Berdasarkan sifat pembuat nol rasional, jika p/q adalah akar rasional dari polinomial P(x) dengan koefisien bulat, maka p adalah faktor dari konstanta P(x) dan q adalah faktor dari koefisien utama P(x).

Pembahasan

Sifat 2.5 menyatakan bahwa jika sebuah polinomial P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 memiliki koefisien bilangan bulat, dengan a_n ≠ 0 dan a_0 ≠ 0, dan memiliki pembuat nol rasional p/q (dimana p dan q adalah bilangan bulat, q ≠ 0, dan p/q dalam bentuk paling sederhana), maka p adalah faktor dari konstanta a_0, dan q adalah faktor dari koefisien utama a_n.

Bukti:
Misalkan p/q adalah pembuat nol rasional dari polinomial P(x). Maka, P(p/q) = 0.

Substitusikan x = p/q ke dalam polinomial:
a_n (p/q)^n + a_{n-1} (p/q)^{n-1} + ... + a_1 (p/q) + a_0 = 0

Kalikan seluruh persamaan dengan q^n untuk menghilangkan penyebut:
a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} q + ... + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n = 0

Sekarang, kita pisahkan suku yang mengandung a_0:
a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} q + ... + a_1 p q^{n-1} = -a_0 q^n

Perhatikan sisi kiri persamaan. Setiap suku (kecuali yang terakhir jika kita memisahkannya secara berbeda) memiliki faktor 'p'. Mari kita kelompokkan semua suku yang memiliki faktor 'p':
p (a_n p^{n-1} + a_{n-1} p^{n-2} q + ... + a_1 q^{n-1}) = -a_0 q^n

Karena ruas kiri memiliki faktor 'p', maka ruas kanan (-a_0 q^n) juga harus dapat dibagi oleh 'p'. Karena p/q adalah dalam bentuk paling sederhana, p dan q tidak memiliki faktor persekutuan selain 1. Oleh karena itu, 'p' harus membagi a_0.

Selanjutnya, mari kita pisahkan suku yang mengandung a_n:
a_{n-1} p^{n-1} q + ... + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n = -a_n p^n

Perhatikan sisi kiri persamaan. Setiap suku (kecuali yang pertama jika kita memisahkannya secara berbeda) memiliki faktor 'q'. Mari kita kelompokkan semua suku yang memiliki faktor 'q':
q (a_{n-1} p^{n-1} + ... + a_1 p q^{n-2} + a_0 q^{n-1}) = -a_n p^n

Karena ruas kiri memiliki faktor 'q', maka ruas kanan (-a_n p^n) juga harus dapat dibagi oleh 'q'. Karena p dan q tidak memiliki faktor persekutuan selain 1, maka 'q' harus membagi a_n.

Dengan demikian, terbukti bahwa p adalah faktor dari a_0 dan q adalah faktor dari a_n.