Daerah asal alami f(x)=akar((x^2-5x)/(4-x^2)) adalah ...

Daerah asal alaminya adalah (-2, 0] U (2, 5].

Pembahasan

Daerah asal alami dari fungsi f(x) = akar((x^2 - 5x) / (4 - x^2)) ditentukan oleh dua kondisi:
1. Ekspresi di dalam akar kuadrat harus non-negatif (lebih besar dari atau sama dengan nol).
   (x^2 - 5x) / (4 - x^2) >= 0
2. Penyebut tidak boleh nol.
   4 - x^2 ≠ 0  => x^2 ≠ 4 => x ≠ 2 dan x ≠ -2.
Mari kita selesaikan pertidaksamaan (x^2 - 5x) / (4 - x^2) >= 0.
Faktorkan pembilang dan penyebut:
x(x - 5) / ((2 - x)(2 + x)) >= 0
Sekarang kita tentukan titik-titik kritis di mana pembilang atau penyebut menjadi nol:
x = 0, x = 5 (dari pembilang)
x = 2, x = -2 (dari penyebut)
Kita uji interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis ini: (-∞, -2), (-2, 0], [0, 2), (2, 5], [5, ∞).
Ingat bahwa x ≠ 2 dan x ≠ -2.
Uji interval:
- Untuk x < -2 (misal x = -3): (-3)(-8) / (5)( -1) = 24 / -5 < 0 (Tidak memenuhi)
- Untuk -2 < x <= 0 (misal x = -1): (-1)(-6) / (3)(1) = 6 / 3 > 0 (Memenuhi)
- Untuk 0 <= x < 2 (misal x = 1): (1)(-4) / (1)(3) = -4 / 3 < 0 (Tidak memenuhi)
- Untuk 2 < x <= 5 (misal x = 3): (3)(-2) / (-1)(5) = -6 / -5 > 0 (Memenuhi)
- Untuk x > 5 (misal x = 6): (6)(1) / (-2)(8) = 6 / -16 < 0 (Tidak memenuhi)
Jadi, interval yang memenuhi adalah (-2, 0] dan (2, 5].
Daerah asal alami f(x) adalah gabungan dari interval-interval ini: (-2, 0] U (2, 5].