Sisipkanlah empat buah bilangan di antara 2 1/2 dan 80

Empat bilangan yang disisipkan adalah 5, 10, 20, 40. Jumlah deretnya adalah 157.5.

Pembahasan

Misalkan empat bilangan yang disisipkan adalah $b_2, b_3, b_4, b_5$. Deret geometrinya menjadi: $a, b_2, b_3, b_4, b_5, c$, di mana $a = 2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ dan suku terakhir adalah $c = 80$. Karena ada 6 suku dalam deret ini, maka $c$ adalah suku ke-6 ($U_6$).
Rumus suku ke-n dalam deret geometri adalah $U_n = a \cdot r^{n-1}$, di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio.

Untuk suku ke-6:
$U_6 = a \cdot r^{6-1}$
$80 = \frac{5}{2} \cdot r^5$

Sekarang, kita selesaikan untuk $r^5$:
$r^5 = 80 \cdot \frac{2}{5}$
$r^5 = \frac{160}{5}$
$r^5 = 32$

Mencari nilai $r$:
$r = \sqrt[5]{32}$
$r = 2$

Dengan rasio $r=2$, kita dapat menemukan empat bilangan yang disisipkan:
$b_2 = a \cdot r = \frac{5}{2} \cdot 2 = 5$
$b_3 = b_2 \cdot r = 5 \cdot 2 = 10$
$b_4 = b_3 \cdot r = 10 \cdot 2 = 20$
$b_5 = b_4 \cdot r = 20 \cdot 2 = 40$

Deret geometrinya adalah $\frac{5}{2}, 5, 10, 20, 40, 80$.

Selanjutnya, kita hitung jumlah deret tersebut. Rumus jumlah $n$ suku pertama deret geometri adalah $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$. Dalam kasus ini, $n=6$, $a=\frac{5}{2}$, dan $r=2$.

$S_6 = \frac{\frac{5}{2}(2^6 - 1)}{2-1}$
$S_6 = \frac{\frac{5}{2}(64 - 1)}{1}$
$S_6 = \frac{5}{2}(63)$
$S_6 = \frac{315}{2}$
$S_6 = 157.5$

Jadi, empat bilangan yang disisipkan adalah 5, 10, 20, dan 40. Jumlah deret tersebut adalah 157.5.