Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Sketsa kurva yang diberikan dan tentukan volume benda
Pertanyaan
Sketsa kurva y=6x-x^2 dan y=x^2, tentukan volume benda putar jika daerah di antara kedua kurva diputar sejauh 360° terhadap sumbu X.
Solusi
Verified
Volume benda putar adalah 81π.
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu melakukan beberapa langkah: 1. **Mencari titik potong kedua kurva:** Setarakan kedua persamaan untuk menemukan nilai x di mana kurva berpotongan. 6x - x^2 = x^2 6x - 2x^2 = 0 2x(3 - x) = 0 Jadi, titik potongnya adalah x = 0 dan x = 3. 2. **Menentukan kurva mana yang berada di atas:** Uji nilai x di antara 0 dan 3 (misalnya x=1) untuk melihat kurva mana yang memiliki nilai y lebih besar. Untuk y = 6x - x^2: y = 6(1) - 1^2 = 5 Untuk y = x^2: y = 1^2 = 1 Jadi, kurva y = 6x - x^2 berada di atas y = x^2 pada interval [0, 3]. 3. **Menghitung volume benda putar:** Gunakan metode cakram/cincin karena diputar terhadap sumbu X. Rumus volume adalah: V = π ∫[a, b] (R(x)^2 - r(x)^2) dx Di mana R(x) adalah jari-jari luar (kurva atas) dan r(x) adalah jari-jari dalam (kurva bawah). R(x) = 6x - x^2 r(x) = x^2 V = π ∫[0, 3] ((6x - x^2)^2 - (x^2)^2) dx V = π ∫[0, 3] (36x^2 - 12x^3 + x^4 - x^4) dx V = π ∫[0, 3] (36x^2 - 12x^3) dx V = π [12x^3 - 3x^4] evaluated from 0 to 3 V = π [(12(3)^3 - 3(3)^4) - (12(0)^3 - 3(0)^4)] V = π [(12 * 27 - 3 * 81) - 0] V = π [324 - 243] V = 81π **Kesimpulan:** Volume benda putar adalah 81π satuan kubik. Sketsa kurva akan menunjukkan parabola terbuka ke bawah (y=6x-x^2) dan parabola terbuka ke atas (y=x^2) yang berpotongan di x=0 dan x=3. Daerah di antara keduanya diputar mengelilingi sumbu X.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Integral
Section: Volume Benda Putar
Apakah jawaban ini membantu?