Sketsa kurva yang diberikan dan tentukan volume benda

Volume benda putar adalah 81π.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu melakukan beberapa langkah:
1. **Mencari titik potong kedua kurva:** Setarakan kedua persamaan untuk menemukan nilai x di mana kurva berpotongan.
   6x - x^2 = x^2
   6x - 2x^2 = 0
   2x(3 - x) = 0
   Jadi, titik potongnya adalah x = 0 dan x = 3.

2. **Menentukan kurva mana yang berada di atas:** Uji nilai x di antara 0 dan 3 (misalnya x=1) untuk melihat kurva mana yang memiliki nilai y lebih besar.
   Untuk y = 6x - x^2: y = 6(1) - 1^2 = 5
   Untuk y = x^2: y = 1^2 = 1
   Jadi, kurva y = 6x - x^2 berada di atas y = x^2 pada interval [0, 3].

3. **Menghitung volume benda putar:** Gunakan metode cakram/cincin karena diputar terhadap sumbu X. Rumus volume adalah:
V = π ∫[a, b] (R(x)^2 - r(x)^2) dx
   Di mana R(x) adalah jari-jari luar (kurva atas) dan r(x) adalah jari-jari dalam (kurva bawah).
   R(x) = 6x - x^2
   r(x) = x^2

V = π ∫[0, 3] ((6x - x^2)^2 - (x^2)^2) dx
V = π ∫[0, 3] (36x^2 - 12x^3 + x^4 - x^4) dx
V = π ∫[0, 3] (36x^2 - 12x^3) dx

V = π [12x^3 - 3x^4] evaluated from 0 to 3
V = π [(12(3)^3 - 3(3)^4) - (12(0)^3 - 3(0)^4)]
V = π [(12 * 27 - 3 * 81) - 0]
V = π [324 - 243]
V = 81π

**Kesimpulan:** Volume benda putar adalah 81π satuan kubik. Sketsa kurva akan menunjukkan parabola terbuka ke bawah (y=6x-x^2) dan parabola terbuka ke atas (y=x^2) yang berpotongan di x=0 dan x=3. Daerah di antara keduanya diputar mengelilingi sumbu X.