Diketahui suatu fungsi f(x)=(3x^2+2)/12 dengan x e [0,2).

Fungsi f(x) adalah fungsi peluang karena nilainya selalu non-negatif pada domain yang diberikan dan integralnya dari 0 hingga 2 bernilai 1.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa f(x) = (3x^2 + 2)/12 dengan x e [0,2) adalah fungsi peluang, kita perlu memeriksa dua syarat:
1. f(x) >= 0 untuk semua x dalam domainnya.
2. Integral dari f(x) dari 0 hingga 2 harus sama dengan 1.

Mari kita periksa syarat pertama:
Karena x e [0,2), maka x^2 akan selalu non-negatif (x^2 >= 0).
Dengan demikian, 3x^2 >= 0.
Sehingga, 3x^2 + 2 >= 2.
Karena penyebutnya adalah 12 (positif), maka f(x) = (3x^2 + 2)/12 selalu positif untuk x e [0,2).

Mari kita periksa syarat kedua:
Kita perlu menghitung integral tentu dari f(x) dari 0 hingga 2:
∫[0,2] (3x^2 + 2)/12 dx
= (1/12) ∫[0,2] (3x^2 + 2) dx
= (1/12) [x^3 + 2x] |_[0,2]
= (1/12) [(2^3 + 2*2) - (0^3 + 2*0)]
= (1/12) [(8 + 4) - 0]
= (1/12) * 12
= 1

Kedua syarat terpenuhi, sehingga f(x) = (3x^2 + 2)/12 adalah fungsi peluang untuk x e [0,2).